Expedition: Vom Salzstreuer zur Kettenlinie
Das Reiseprogramm: Wir starten mit einem einfachen Körper in der Form eines Salzstreuers, berechnen zunächst Volumen und Oberfläche und machen uns Gedanken darüber, wieviel Material man zur Herstellung benötigt. ( Mathematik Klassenstufe 10, mathematikhistorisch Zeit der Antike). Im nächsten Schritt überlegen wir, wie man die geometrischen Proportionen des Körpers, also die Parameter Höhe und Radius, zu wählen hat, damit das Volumen bei gegebener Oberfläche maximal wird oder die Oberfläche minimal bei gegebenem Volumen. Dazu benötigt man Kenntnisse der Differentialrechnung etwa Oberstufe Gymnasium. Ein neuer, etwas anspruchsvoller konstruierter Salzstreuer (mit einem zusätzlichen Geometrieparameter) führt uns zu weiteren Optimierungsproblemen. Für die Oberflächen- und Volumenberechnung genügt Klassenstufe 10, für die Optimierung wird Differentialrechnung etwa aus dem Grundstudium benötigt. Die Fragestellung wird dann auf weitere Formen ausgedehnt, die aber allesamt Rotationskörper sind. Die Frage, welcher dieser Rotationskörper eine minimale Oberfläche hat führt uns schließlich zu einer Kurve die eine zwischen zwei Masten hängende Kette (oder Kabel) beschreibt. Der mathematische Hintergrund ist ein Variationspoblem. Hier sind wir dann vom Wissenstand im Hauptstudium und mathematikhistorisch auf dem Stand vor etwa 200 Jahren angekommen. (Euler, Lagrange). Abschließend noch ein Ausblick auf neuere Ergebnisse.



"Salzstreuer" Modell 1

Der Körper besteht offenbar aus einer Halbkugel mit Radius r aufgesetzt auf einen Zylinder der Höhe h. Volumen und Oberfläche berechnen sich daher mit den entsprechenden Formeln für Kreis, Kugel und Zylinder in Abhängigkeit von Radius r und Höhe h ( Formeln und Bezeichnungen hier )


Der Salzstreuer soll aus einem Stahlblech der Stärke d gefertigt werden. Wieviel Material M wird dazu benötigt und wie hoch ist die Masse des leeren Streuers bei einer Dichte ρ des Bleches?
Eine naheliegende Idee wäre es, einfach die Oberfläche mit der Dicke zu multiplizieren, also:

Sozusagen die Oberfläche ausgebreitet als Blech der Stärke d.
Dadurch erhält man aber nur eine Näherung, die etwas zu groß gegenüber der tatsächlich benötigten Materialmenge ist. Dies sieht man sofort ein, wenn man sich die Wandstärke recht groß vorstellt: Es ist nämlich eigentlich das Volumen eines Hohlkörpers zu berechnen. Der Innenradius beträgt nur r-d, die Innenhöhe des zylindischen Teilstücks h-d.
Das exakte Volumen des Hohlkörpers beträgt in diesem Fall V(r,h) - V(r-d,h-d)

Im Unterricht der 10. Klasse wird dieser Unterschied anhand der Hohlkugel mit Wandstärke d demonstriert (Schule/Körper )

Aufgabe Es ist offensichtlich, dass die Näherung immer besser wird, je kleiner die Wandstärke des Blechs wird (das kann man auch exakt nachrechnen). Um wieviel Prozent wird denn für eine gegebene Wandstärke d (z.B. 0,1mm, 1 mm , 10 mm) mit der Näherung die tatsächlich benötigte Menge überschätzt? Berechnung formelmäßig und/oder mit Wertetabelle, z.B. mit Tabellenkalkulation.



Optimales Design - Extremalprobleme
Wir wenden uns nun zwei typischen Fragestellungen zum Design des Salzstreuers zu, aus denen sich dann - wie üblich in der Mathematik - sofort neue Fragestellungen ergeben.

Problem maxV: Die Oberfläche soll mit O* vorgegeben sein. Wir suchen die Variablen r und h, für die der Körper ein maximales Volumen bei festgelegtem Oberflächeninhalt besitzt. Mathematische Formulierung:
Problem minO: Das Volumen soll mit V* vorgegeben sein. Wir suchen die Variablen r und h, für die der Körper eine minimale Oberfläche bei festgelegtem Volumen besitzt. Mathematische Formulierung:

Es liegen also zwei unterschiedliche Optimierungsprobleme in den Variablen r und h mit einer Gleichungsnebenbedingung sowie zwei einfachen Vorzeichenbedingungen an die Variablen vor. Da es sich bei r und h um Längen handelt, dürfen sie nicht negativ werden. Es gibt zwar allgemeine Techniken (Lagrange-Multiplikatoren) zur Lösung derartiger Probleme. Jedoch kann man in diesem einfachen Fall auch eine Variable durch die Vorgabe eliminieren und erhält so ein Optimierungsproblem in einer Variablen, das mit einfachen Techniken der Differentialrechnung gelöst werden kann. In der Schulmathematik ist dies das übliche Vorgehen. Wir führen dies für das Problem maxV durch, wobei wir nach h auflösen (warum nicht nach r?):




Struktureigenschaften: Die Funktion V(r,h) ist als Funktion von zwei Variablen r>0 und h>0 nicht konkav und nicht konvex. Hier das Bild -

Jedoch ist die Funktion V(r), die durch Einschränkung von V auf die durch die Gleichung O * = O(r,h) festgelegte Kurve h(r) ensteht, konkav (rechtsgekrümmt) für r>0. Dies sieht man z.B. an der 2. Ableitung nach r:
V''(r) = -5 π r < 0 falls r> 0.

Die Volumenfunktion zum maximalen Volumen bei vorgegebener Oberfläche O * ergibt sich dann zu
V max ( O * ) = (5/3) π (O * / (5 π) ) (3/2)

Das Problem minO behandelt man analog (Leser überlassen).

Es ergibt sich natürlich sofort eine naheliegende Frage. Angenommen, wir geben eine gewünschte Oberfläche O* vor, berechnen dazu das Maximalvolumen nach Problem maxV und gehen mit dem Ergebnis als Volumenvorgabe V* in das Problem minO. Erhalten wir dann als Lösung von minO unsere ursprüngliche Oberfläche O* wieder, oder ergibt sich eine anderer Lösungswert?

Für studentische Leser ein Hinweis: Es gibt zu diesem Thema zahlreiche Erkenntnisse, die in der Regel im Hauptstudium vermittelt werden. Stichworte dazu: Optimierung: Sattelpunkte der Lagrangefunktion unter Konvexitätsvoraussetzungen, Dualitätstheorie Spieltheorie: Minimaxtheorem.

Wärmeverluste in Wärmespeichern minimieren
Anstatt der Fragestellung nach dem minimalen Materialverbrauch kann man auch die Frage nach dem minimalen Wärmeverlust betrachten. Der Körper ist zum Beispiel ein Warmwasserspeicher. Der Energieinhalt (Wärmemenge) ergibt sich dann aus der spezifischen Wärme von Wasser mal dem Volumen mal der Differenz der Temperatur zur Umgebungstemperatur. Er ist also proportional zum Volumen. Der Wärmeverlust durch die Abkühlung durch die geringere Außentemperatur (z.B. im Keller) ist proportional zur Oberfläche des Speichers. Die Proportionalitätskonstante hangt dabei ab von der Wandstärke und die Wärmeleitfähigkeit der Wand. Will man für einen Speicher der obigen Form bei vorgegebenem Volumen also die Geometrie mit geringstem Verlust berechnen,so muss man Problem minO lösen. Will man dagegen bei vorgegebener Oberfläche die Geometrie mit größtem Volumen berechnen, so ist Problem maxV zu lösen.




Ein zweiter Salzstreuer


Der Unterschied zum ersten Körper: Es liegt neben h und r nun eine zusätzliche Geometrievariable R für den Grundkreis des Kegelstumpfs vor. Der Körper besteht offenbar aus einem Kegelstumpf mit aufgesetzter Halbkugel. Die Formeln für das Volumen und die Oberfläche findet man unter Schule/Körper. ( Formeln und Bezeichnungen hier )
Wir betrachten zunächst das Problem maxV. Gelingt auch hier eine Variablenreduktion durch Auflösen der Nebenbedingung O=O * und Umformen in ein nebenbedingungsfreies Problem wie oben bei Modell 1?
Man kann zwar mit dem Satz über implizite Funktionen nachweisen, dass aufgrund der Nebenbedingung O=O * eine Funktion h = h(R,r) existiert. Die entprechende Voraussetzung ist jedenfalls erfüllt:

Jedoch erscheint bei genauem Hinschauen die explizite Angabe dieser Funktion h durch eine algebraische Auflösung der Nebenbedingung nach der Höhe h (oder den Radien r bzw. R) analog zum Vorgehen bei Modell 1 schwierig bis unmöglich, weil h (bzw. r und R) in l jeweils unter der Wurzel auftauchen. Meine diesbezüglichen Versuche führten jedenfalls bisher zu keinem Resultat- der Leser mag sich gerne daran versuchen.
Daher kann ich hier nur eine Standard-Lösung über die Lagrange-Multiplikatoren anbieten, durch die die Nebenbedingungen mit eingearbeitet werden. Die oben dargestellte Voraussetzung zum Satz über implizite Funktionen ist auch hinreichend für die Existenz eines reellen Lagrangemultiplikators p für das Problem maxV.
Wenn (R,r,h) eine Lösung des Problems maxV ist, dann gilt das Gleichungssystem
Die Gleichungen (5) und (6) bilden zusammen vier nichlineare Gleichungen für die vier Unbekannten (R,r, h, p) am stationären Punkt, (8) sind sehr einfache Ungleichungsbedingungen. Explizite formelmäßige Auflösung erscheint auch hier schwierig. Mit einem modifizierten Newtonverfahren kann man für (5) , (6) und (8) aber numerisch leicht eine Näherungslösung berechnen. ( Standard-Newtonverfahren (mehrdimensional)

Rotationskörper mit Minimalflächen


Etwas allgemeiner betrachten wir nun die Fragestellung nach einer minimalen Oberfläche eines Rotationskörpers. Eine solche Mininalfläche kann entstehen, wenn man zwei nahe und parallel ausgerichtete Drahtschlingen in Seifenwasser taucht oder eine dünne Gummihaut über zwei Ringe spannt (Minimierung der potentiellen Energie).

Eine Rotationsfläche kann man sich auch entstanden denken durch Rotation des Graphen y(z); 0 ≤ z ≤ a um die z-Achse, siehe Skizze. Der Abstand eines Mantelpunktes zur z-Achse ist dann r(z)= y(z).
Die Werte y(0)=y 0 und y(a)=y a seien dabei vorgegeben als Radien der Kreise.

Die Frage lautet: Für welche stetige Funktion y wird die Oberfläche (genauer die Mantelfläche, da die "Deckel" ja schon festliegen) minimal? Zu minimieren ist also das Oberflächenmaß der Mantelfläche über alle differenzierbaren Funktionen, welche die Vorgaben y(0)=y 0 und y(a)=y a erfüllen.
Mathematisch formuliert lautet dies unter Benutzung der Integrationsformel für Mantelflächen von Rotationskörpern:

Man beachte, dass hier ein Minimierungsproblem über einen Funktionenraum vorliegt, also prinzipiell unendlich viele Variable vorliegen. Mit Methoden der Variationsrechnung, nämlich den Euler-Lagrange Gleichungen zur Minimierung des Integralfunktionals, siehe Katenoide kann man zeigen, dass der Graph y(z) die Form einer Kettenlinie besitzt- das ist die Kurve, die ein zwischen zwei Masten hängendes Seil oder eine Kette zeigt. In unserem Fall wären die Lösungen Funktionen der Form
y(z) = c cosh( (x-d)/c) + y 0 .
Die Parameter c, d sind aus den Daten y(0)=y 0 und y(a)=y a zu berechnen. Das Bild zeigt diese Minimalflächen aus verschiedenen Perspektiven - genauer gesagt, sind es etwas geglättete Näherungslösungen wie im nächsten Abschnitt beschrieben.



Näherungslösungen
Wenn man die Lösung nicht exakt über eine Differentialgleichung berechnen, sondern über ein Näherungsverfahren annähern möchte, kann man im einfachsten Fall y(z) durch einen Polygonzug y_n ersetzen (stückweise lineare Funktion , linearer Spline) . Die y-Werte der n Stützpunkte sind dann die (endlich vielen) Variablen, und das zu minimierende Integral wird durch eine Summe ersetzt. Die enstehende Funktion von endlich vielen Variablen kann man dann mit einem numerischen Optimierungsverfahren minimieren.

Wenn man glattere Flächen möchte, verwendet man Splines höherer Ordnung (quadratisch oder kubisch).

Lösungen ohne Rotationssymmetrie
Nichtsymmetrische Lösungen
Wenn wir auf die Forderung "Rotationssymmetrie " verzichten, können wir uns immer noch fragen, welche Form eine minimale Fläche hat, die zwei zwischen zwei Kreisen (diese auf parallelen Ebenen, Mittelpunkt auf der z-Achse, s.o. ) liegt. Das dabei zu minimierende Funktional ist nun komplizierter, denn es ist das Oberflächenintegral mit Integrand 1 (also Oberflächenmaß) zum Beispiel zu der Parametrisierung der Oberfläche durch drei Funktionen x= x(u,v) , y=y(u,v), z=z(u,v) mit (u,v) aus S Teilmege von ℝ 2

(Integral über die euklidische Norm des Kreuzprodukts der Vektoren der partiellen Ableitungen der Parametrisierung)
Da über drei Funktionen (x,y,z)(u,v) mit passenden Randbedingungen (für die Kreise) minimiert wird, erhält man als notwendige Optimalitätsbedingung keine gewöhnliche Differentialgleichung mehr wie oben, sondern partielle. Lange glaubte man, dass die rotationssymmetrische Lösung von oben auch die einzige Lösung für diesen Fall sei, bis man in den 80er Jahren bei numerischen Experimenten mit dem Computer, also durch Näherungen der Parametrisierung durch Splines auf sehr merkwürdige Gebilde stieß, die Hoffman'schen Flächen (auch Costa-Flächen).
Beispiel für Costa-Flächen - auch als Skulpturen!
Auch diese Flächen sind Lösungen des Flächenminimierungsproblems, allerdings solche, die eine Gummihaut nie und eine Seifenhaut wohl nur äußerst selten annehmen wird.
Das zu minimierende Funktional ist nicht konvex, kann also mehrere Minimallösungen besitzen. Das Interessante daran ist, dass diese neuen Lösungen nicht durch theoretische Untersuchungen entdeckt wurden, (die folgten dann natürlich später) sondern durch Computerexperimente - experimentelle Mathematik sozusagen. Seit 1996 ist sogar eine Parameterdarstellung der Costa-Fläche bekannt. Eine schöne - allgemeinverständliche - Darstellung (fast ohne Formeln) dieser Themen und der damit verbundenen mathematischen Fragestellungen findet man z. B. in dem Buch Mathematische Expeditionen von Ivar Peterson, Spektrum Akademischer Verlag 1992, oder auch in dem Buch Panoptimum von S. Hildebrandt und A. Tromba , Spektrum der Wissenschaft, 1987. Eine mathematisch präzise Darstellung dieses und anderer Minimalflächenprobleme ist z. B. zu finden in Hildebrandt/Dierkes/Sauvigny, Minimal Surfaces, Springer, 2010, 2. Auflage.