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Anwendungen der Differentialrechnung

(Stand:5.4.2017)
Beispiel einer stückweise definierten, stetig differenzierbaren Funktion: $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 + (x+1)^2 , & x\lt -1 \\ 1 , & -1 \le x \lt 1 \\ 1 + (x-1)^2 , & x \ge 1 \end{array} \right. $$ Diese Funktion ist auf ganz $R$ stetig differenzierbar.
Nachweis =Übung, interessant sind nur die Punkte $x=-1$ und $ x=1 $ ) , $ f'(x) = 0 , -1 \le x \le 1 .$
$ f'' $ existiert auf ganz $R$, ist unstetig in $ x=\pm1 $ aber $f''(x) \ge 0 $ auf ganz $R$. Minimalstellen (lokale und zugleich globale, aber keine strengen ) sind genau das Intervall $[-1;1] $


Vollständige Kurvendiskussion

Kurvendiskussion ganzrationale Funktion Grad 4
$$ f(x) = x^4 -8x^2 + 7 , \quad x \in I\!\!R $$ Nullstellen: Substitution $ u = x^2 $ ergibt $ u^2 -8u + 7 = 0 $ für $ u_1 =1 $ und $u_2=7$. Also gibt es nach Auflösung der Gleichung $x^2 = u$ die vier Nullstellen
$x_1= - \sqrt{7}, x_2 = -1, x_3 = 1, x_4 = \sqrt{7} $
Symmetrie : Da nur gerade Exponenten auftreten, liegt Achsensymmetrie bezüglich y-Achse vor.
$$ f(x) = x^4 -8x^2 + 7 = (-x)^4 - 8(-x)^2 + 7 = f(-x) $$.

Nullstellen der ersten Ableitung: $$ f'(x) = 4x^3 -16x = 4x(x^2-4) = 4x(x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2,\ x_2=0,\ x_3 = 2 $$ Aufgrund des Graphen -nach oben geöffnete Parabel der Ordnung 4 , weil der Koeffizient von $x^4 $ positiv ist, $$ x \to \pm \infty \Rightarrow f(x) \to \infty $$ ist aus der Anschauung schon klar, dass $x_1 $ lokale Minimalstelle, x_2 lokale Maximalstelle und x_3 lokale Minimalstelle ist. Wir können das noch untermauern, indem wir Werte in der Nähe einsetzen und den jeweilgen Vorzeichenwechsel untersuchen.
Etwa an der Stelle $x_1 =-2$ : $f'(-3) \lt 0, f(-1) \gt 0 $ also Vorzeichenwechsel bei $f'$ an der Stelle $x_1$ von - zu +, also lokale Minimalstelle. Analog für $x_2, x_3 $.
Da $ f(x_1) = f(x_3) \le f(x) $ für alle $x\in D(f) $ (Symmetrie hier!) sind beide Stellen auch globale Minimalstellen.
Nullstellen der 2. Ableitung: $$ f''(x) = 12x^2 - 16 =0 \Rightarrow x_1 = - {2 \over \sqrt{3 } } \quad x_2 = {2 \over \sqrt{3 } } $$ Aufgrund des Vorzeichenwechsels der 2. Ableitung (oder der positiven 3. Ableitung) an den Stellen liegen dort Wendepunkte vor. An $x_1 $ geht eine Links- in eine Rechtskrümmung über, an $x_2$ ist es umkehrt.
Linkskrümmung: $] - \infty; x_1 ] \cup [x_2; \infty [ $
Rechtskrümmung: $ [x_1;x_2 ] $

Die Graphen der Funktion (schwarz) mit erster (rot) und zweiter (blau) Ableitung.



Das umgekehrte (inverse) Problem: Konstruktion eines Funktionsterms aus Vorgaben
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 4 mit folgenden Eigenschaften:
1. Am Punkt $(0;0) $ liegt ein Wendepunkt vor
2. An der Stelle $x=0$ und $x=6$ hat der Graph eine waagerechte Tangente
3. In einem Schnittpunkt $x>0$ mit der x-Achse hat der Graph die Steigung $-8$.

Lösung : Wir machen den allgemeinen Ansatz für eine ganzrationale Funktion vom Grad 4. $$ f(x) = ax^4 + bx^3 + c x^2 + d x + e , \quad x\in I\!\! R $$ Es gilt nun, aus den Vorgaben Bedingungen für die Koeffizienten zu gewinnen.
1. Wendepunkt in (0,0) bedeutet: $$ f(0) = 0 \Rightarrow e =0; \qquad f''(x) =12ax^2 + 6bx + c, \quad 0 = f''(0) = c \Rightarrow c=0 $$ 2. $f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2c x + d = 4ax^3 + 3bx^2 + d $ $$ f'(0) = 0 \Rightarrow d=0, \qquad 0 = f'(6) = 4a6^3 + 3b6^2 \Rightarrow b= -8a $$ Nach den bisherigen Ergebnissen hat die Funktion also folgenden Funktionsterm $$ f(x) = ax^4 - 8ax^3 = x^3(ax - 8a) $$ 3. Es liegt eine dreifache Nullstelle an $x=0$ vor, die zweite Nullstelle ergibt sich aus $ ax - 8a = 0 , $ also $x=8$. An dieser Stelle gilt laut Vorgabe $$ -8 = f'(8) = 4a8^3 - 3\cdot 8a 8^2 = a 8^3 \Rightarrow a = -{1 \over 64 } $$ Der Funktionsterm lautet also $$ f(x) = -{1 \over 64 } x^4 + {3 \over 8 } x^3 $$

Bestimmung des Funktionsterms einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 aus Vorgaben
Es soll eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 bestimmt werden, die folgende Bedingungen erfüllt:
1. Doppelte Nullstelle an $x=1$
2. Steigung an der Stelle $x=2$ sei 1.
3. Der Graph der Funktion verläuft durch den Punkt $(-1; -5)

Lösungsskizze: Wir stecken die 1. Information gleich in den Ansatz $$ f(x) = (x-1)^2 (ax+ b) $$ Die Ableitung ist nun mit der Produktregel zu berechnen: $$ f'(x) = 2(x-1) (ax+b) + (x-1)^2 a $$ Vorgabe 2. $$ 1= f'(2) = 4a + 2b + a= 5a + 2b =1 \Rightarrow b = { 1-5a \over 2 } $$ Vorgabe 3. $$ f(-1) = -14a +2 = -5 \Rightarrow a= {1 \over 2 } \Rightarrow b = - {3 \over 4 } $$ Da keine spezielle Darstellungsform des Funktionsterms verlangt war, also $$ f(x) = (x-1)^2 ( 0,5x -0,75) $$

Ausblick: Kubische Interpolation und Kubische Splines Ordnet sich ebenfalls in diesen Kontext ein.
Bei der kubischen Intepolation möchte man durch 4 gegebene Punkte (etwa Mess- oder Tabellenwerte) den Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 legen, um so Zwischenwerte ermitteln zu können.
Aufgabe kubische Interpolation
Gegeben 4 Punkte: $(x_1, y_1) ..... (x_4, y_4)$
Gesucht: $f(x)$ ganzrational vom Grad 3 mit $ f(x_k) = y_k , k=1,2,3,4$ (Interpolationsbedingung).

Aufgabe kubische Splines
Gegeben n Punkte $ (x_1, y_1) ..... (x_n, y_n) $
Gesucht eine stückweise ganzrationale Funktion vom Grad 3, die die Interpolationsbedingung $ f(x_k) = y_k , k=1,2,3,n$ erfüllt und zweimal differenzierbar ist.
Anders gesagt: Es ist eine Funktion $f$ stückweise aus mehreren ganzrationalen Funktionen vom Grad 3 so zusammenzusetzen, dass an den "Schnittstellen" erste und zweite Ableitung übereinstimmen und die Interpolationsbedingung erfüllt ist.
Man kann beide Probleme durch simples Aufstellen von Gleichungen aus den Bedingungen wie in den vorigen Aufgaben lösen, es gibt aber auch effektivere (rekursive) Berechnungsverfahren.

Optmimierungsprobleme

Vorgehen bei Optimierungsproblemen mit einer Nebenbedingung in der Schulmathematik:
1. Aufstellen der zu minimierenden (oder maximierenden) Zielfunktion.
2. Zusammenstellung der Nebenbedingungen (Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingung, etwa positive Längenmaße )
3. Ersetzen von Variablen in der Zielfunktion über die Gleichungsnebenbedingung(en) bis nur nur noch Abhängigkeit von einer Variablen besteht - Variablenreduktion ergibt neue Funktion.
4. Bestimme die Nullstellen der Ableitung dieser Funktion und untersuche welche davon Minimal- bzw Maximalstellen sind.
Beachte bei algebarischen Umrechnungen und Lösungsmengenbestimmung die Nebenbedingungen!

Geometrisches Extremalwertproblem, Trapez im Halbkreis. In einen Halbkreis mit festem Radius $r \gt 0$ soll ein Trapez mit maximalem Flächeninhalt eingezeichnet werden wie in der Skizze unten. Wie groß ist dieser Flächeninhalt und wie groß ist die Höhe h dieses Trapezes und die kurze Seitenlänge?
Zunächst die Skizze mit den Bezeichnungen.


Die Länge der kürzeren Seite des Trapezes wird also mit $2x$ bezeichnet, die Länge der längeren Seite steht schon fest mit $2r$. Die zu maximierende Fläche ist damit durch die Zielfunktion $$ A(h,x) = h { 2r + 2x \over 2 } = h(r+x) $$ beschrieben.
Die Variablen $h \ge 0$ und $x \ge 0$ sind jedoch nicht beliebig wählbar, sondern durch die "liegt im Kreis" Bedingung miteinander verknüpft. Man nennt dies in der Optimierung eine Nebenbedingung.
Es ist klar, dass ein maximal großes Trapez immer mit den Ecken auf der Kreislinie liegen muss, denn sonst könnten wir sofort ein größeres finden. Die blaue Hilfslinie zeigt nun die Verknüpfung zwischen $h$ und $x$, nämlich $$ h^2 + {x^2 } = r^2 , \mbox {und } h \ge 0 \Rightarrow h(x) = \sqrt{ r^2 - x^2 } $$ $h \ge 0 $ dürfen wir hier annehmen, da es sich um ein Längenmaß handelt. Im Ergebnis haben wir also nur eine Variable $x\ge 0 $ über die wir maximieren müssen. $$ \mbox{ maximiere über } {x \ge 0:} \qquad f(x) = A(h(x),x) = \sqrt{ r^2 - x^2 } \cdot (r + x) $$ Diese Funktion ist etwas unhandlich, ließe sich aber auch direkt behandeln. Weil wir es nur mit geometrischen Größen (Längen) zu tun haben, ist $f$ nichtnegativ ($f\ge 0$). Damit hat $f$ dieselben Extremalstellen wie $f^2 $ (strenge Monotonie der Wurzelfunktion). Wir maximieren also nun die Funktion $$ g(x) = f^2(x) = ( r^2 - x^2 ) \cdot ( r+x )^2 $$ Wie üblich werten wir erst die notwendige Optimalitätsbedingung aus, sammeln also alle Kandidaten für Extremalstellen als Nullstellen der ersten Ableitung (diese mit der Produktregel berechnet): $$ g'(x) = -2x(r+x)^2 + 2(r^2 - x^2) (r+x) = 0 $$ Die 3. Binomische Formel ergibt $ r^2 - x^2 = (r+x)(r-x) $ und somit $$ g'(x) = -2x(r+x)^2 + 2(r^2 - x^2) (r+x) = 2(r+x)^2 ( r-2x) = 0 \Rightarrow x= {r \over 2 } $$ Diese Faktorisierung zeigt auch: $$ x \lt r/2 \Rightarrow g'(x) \gt 0 \qquad x \gt r/2 \Rightarrow g'(x) \lt 0 $$ Damit ist $x$ eine Maximalstelle. (Differerentialrechnung 1, Sätze .)

Ergebnis: Das maximalflächige Trapez im Halbkreis hat folgende Größenparameter:
Kurze Seite Länge: $ 2x = r $
Höhe : $h = \sqrt{3} r/2 $
Flächeninhalt: $ A= r^2 3\sqrt{3}/4 $.
Das optimale Trapez ist also, wie man auch geometrisch erwarten würde, das halbe regelmäßige einbeschriebene Sechseck.

Geometrisches Extremalwertproblem: Oberflächenminimierung bei zylindrischen Gefäßen mit vorgegebenem Volumen V.
Diese Aufgabe findet man in unzähligen Variationen und Kontexten in Schulbüchern und Aufgabensammlungen. Etwa eine Getränkedose aus Blech (Boden und Deckel ) oder ein Bierkrug/Glas (nur mit Boden.) Die zu minimierende Oberfläche wird als Maß für das verbrauchte Material genommen. Das ist natürlich nur eine Näherung, die bei kleinen Wandstärken gerechtfertigt ist. Siehe Seite "Körper" , Diskussion zur Hohlkugel. In Wirklichkeit liegt natürlich ein Hohlkörper vor. Der Materialverbauch soll also minimiert werden.
Ein anderer Anwendungskontext ist die wärmevelustminimale Gestaltung eines zylindrischen Wärmespeichers, etwa eines Warmwasserspeichers, den man im Heizraum aufstellt. Die darin gespeicherte Wärmemenge ist proportional zum Volumen, der Wärmeverlust erfolgt durch Transmission durch die Oberfläche und ist proportional zu dieser. Bei vorgegebenem Volumen des Speichers und vorgegebener Dämmstoffdicke.


Bilder und Formeln Zylinder
Das Oberflächenmaß eines Zylinders mit Höhe h, Grundkreisradius r mit einem Boden aber ohne Deckel (zylindrisches Bierglas/Krug) : $$ O_1 (h,r) = 2r\pi h + \pi r^2 $$ Oberflächenmaß eines Zylinders mit Höhe h, Grundkreisradius r mit einem Boden und Deckel (zylindrische Dose) : $$ O_2 (h,r) = 2r\pi h + 2 \pi r^2 $$ Das vorgegebene Volumen $$ V = V(r,h) = \pi r^2 h $$ ist die Nebenbedingung im Optimierungsproblem, die die Variablen $r,h$ verknüpft.
Implizite Nebenbedingungen sind natürlich $h \ge 0, r\ge 0$ da es Längenmaße sind.
Durch die Nebenbedingung kann man eine Variable als Funktion der anderen ausdrücken, einsetzen und erhält so ein Minimierungsproblem in einer Variablen. $$ h = { V \over \pi r^2 } \Rightarrow O_1(r) = { 2V \over r } + \pi r^2 \qquad O_2= { 2V \over r } + 2\pi r^2 $$ Um Kandidaten für die Minimalstelle zu ermitteln, berechnen wir die Nullstellen der Ableitungen. $$ O_1' (r) = { -2V \over r^2 } + 2\pi r = 0 \Rightarrow r_1 = \left( { V \over \pi } \right)^{1\over 3 } $$ $$ O_2' (r) = { -2V \over r^2 } + 4\pi r = 0 \Rightarrow r_2 = \left( { V \over 2\pi } \right)^{1\over 3 } $$ Dass jeweils eine Minimalstelle vorliegt, sieht man an dem Vorzeichenwechsel der Ableitung von - zu + mit wachsendem r. $ O_1' (r) \lt 0$ für $ r \lt r_1, O_1' (r) \gt 0 $ für $ r \gt r_1 $ , und $r_1 $ ist die einzige Nullstelle , also das globale Minimum der Funktion $O_1$ für $r\ge 0$. Analog argumentiert man für $O_2$.
Das oberflächenoptimale zylindrische Gefäß mit Boden und Deckel fällt schlanker aus, als das mit nur einem Boden. Für die Längenverhätnisse ergibt sich durch kurze Rechnung: $$ h_1 = r_1 \qquad h_2 = 2r_2 $$ Bei zylindrischen Gefäßen mit Boden und Deckel ist also die optimale Höhe gerade so lang wie der Durchmesser (2.Fall), bei Gefäßen ohne Deckel entspricht sie dem Radius (1.Fall).

Für ein Gefäß mit 1L = 1 $dm^3$ Inhalt ergibt sich z.B. $$ r_1 \approx 0,682 dm \qquad r_2 \approx 0,542 dm $$

Extremalwertproblem der Schwingungslehre
Als linear gedämpfte Schwingung bezeichnet man eine Schwingung, in der die Dämpfung (etwa durch Reibung in einem mechanischen Problem) als proportional zur Geschwindigkeit angenommen wird. Das Modell ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (siehe Ingenieur/Differentialgleichungen) oder Wikipedia :Schwingung
Deren Lösungen für hinreichend kleine Dämpfungen sind Funktionen der Form $$ f(t) = ae^{-bt} \sin(ct) $$ wobei die positiven Parameter a,b,c von den physikalischen Gegebenheiten bestimmt werden.
Das Bild zeigt das exponentielle Abklingen der Schwingung durch die lineare Dämpfung (a=4; b=0,2; c=2).



Aufgabe: Bestimme die Nulldurchgänge (Nullstellen) und die maximalen Ausschläge (Extremstellen/-werte) der Schwingung für $t>0$.

Extremalwertproblem : Wallprofil
Das Profil eines Walls hat die Form $$ f(x) = a \cos^2 (b x) ,\quad -c \le x \le c $$ wobei $c$ gerade die Nullstelle der Funktion darstellt (Höhe Null, Fuß des Walls). $f(c) = f(-c) =0$. Die Breite ist dort also 2c. $a,b,c$ positive Parameter. Ein Beispiel :



Bestimme die Stellen, wo der Wall die betragsmäßig maximale Steigung besitzt.