Exponentialfunktion und Logarithmus 10. Klasse Gymnasium

Voraussetzungen: Beherrschung der Rechenregeln für Potenzen, Exponenten, Logarithmus.

Exponentialfunktion:         x →   y=f(x) = ba x   ;   x     Logarithmus: x = log a (y /b)     für y/b > 0.
Dabei sind die Basis a>0 und Anfangswert b ungleich null reelle Parameter.
Parameterabhängigkeit testen im Plot


Die Grafik zeigt die Graphen verschiedener Exponentialfunktionen mit b > 0. Die entsprechenden Funktionen für negative Parameter b erhält man durch Spiegelung an der x-Achse. Versuche anhand der Graphen jeweils a und b zu bestimmen!

Besondere Eigenschaft der Exponentialfunktion:
Der prozentuale Zuwachs bei fester Schrittweite h (z.B. einer Zeiteinheit) ist unabhängig von x:
f(x+h) = ba x+h = a h ba x = a h f(x)
Der Quotient f(x+h)/f(x) = a h ist also nur abhängig von der Schrittweite h, er ist unabhängig von x.
x f(x) Mit jedem Schritt um h=2 Einheiten vervierfacht sich f
Nachweis und Berechnung von a und b:
f(5)/f(3) = f(7)/ f(5) = f(9)/f(7) = 4 = ah
h = 5-3=7-5=9-7=2   also: 4 = a2
somit a=2   und   f(x) = b 2x
Aus f(3)= b 23 = 0,8 folgt b=0,1 und somit
f(x) = 0,1 * 2x
3 0,8
5 3,2
7 12,8
9 51,2

Aufgrund dieser besonderen Eigenschaft erweist sich die Exponentialfunktion als geeignetes Beschreibungsmodell für alle Prozesse, bei denen die Änderung ( Zunahme falls a>1 oder Abnahme falls a < 1) für eine feste Schrittweite h immer proportional zum Zustand ist. Beispiele siehe unten.

Weitere offensichtliche Eigenschaften:
f(0) = b   und f(x)> 0   für alle x falls b>0.
Die Potenz einer Exponentialfunktion ist wieder eine Exponentialfunktion: Für jede ganze Zahl p ungleich Null ist f p wieder eine Exponentialfunktion mit Anfangswert b p und Basis a p
Entsprechend: Produkte von Exponentialfunktionen sind wieder Exponentialfunktionen.

  Exponentielles Wachstum und Zerfall: Modelle Übersicht.
  1. Zinseszinsmodell:
  2. Geld wird zu einem bestimmten Jahreszinssatz angelegt und die jährlich angefallenen Zinsen werden im nächsten Jahr mitverzinst.
  3. Zellvermehrung/Bakterien. Zellen (somit auch Einzeller wie Bakterien) vermehren sich bekanntlich durch Zellteilung. Ihre Anzahl verdoppelt sich idealerweise somit nach einer gewissen Zeit, der Verdoppelungszeit, sofern ein unbegrenztes Nahrungsangebot vorliegt und keine Einwirkung durch Gifte oder Räuber vorliegt.
  4. Radioaktiver Zerfall: Nach den bisherigen Modellen zerfallen radioaktive Stoffe mit festen Zerfallsraten. Das bedeutet, die Anzahl der Atome eines radioaktiven Isotops reduziert sich durch den Zerfall pro Zeiteinheit mit fester Rate. Eine spezifische Kenngröße ist für jedes Isotop seine feste Halbwertszeit, die nicht von der Anzahl der Isotope abhängt. An diesem Modell sind zwar in letzter Zeit Zweifel geäußert worden, vergleiche z.B. Halbwertszeit nicht konstant? . Doch sind die möglichen Schwankungen der Halbwertszeit so gering, dass wir für Ausbildungszwecke weiterhin das exponentielle Modell betrachten können. Die sogenannte Radiokarbon-Methode zur Altersbestimmung von Fossilien beruht zum Beispiel auf dem Zerfall des Isotops C14. Siehe
    Radiokarbonmethode und Radiokarbonmethode
  5. Die Barometrische Höhenformel beschreibt die Veränderung des Luftdrucks in der Atmosphäre in Abhängigkeit von der Höhe über Null.
  6. Die Temperaturangleichung. Das Wasserglas im Kühlschrank. Bringt man einen Körper mit einer bestimmten Temperatur (Wasserglas) in eine Umgebung mit einer anderen Temperatur so findet nach dem Haupsatz der Thermodynamik eine Angleichung der Temperatur durch Wärmeübergang statt. Unter bestimmten Voraussetzungen (Wärmemenge im Körper ist viel geringer als die der Umgebung, der Körper erwärmt die Umgebung nicht) kann man den Temperaturverlauf im Körper durch eine etwas allgemeinere Exponentialfunktion des Typs
    f(x) = b a x + c
    beschreiben.

1. Zinseszinsmodell
Wir legen einen Geldbetrag , z.B. b=1000 Euro mit einem festen Jahreszinssatz p=5% an unter der Vereinbarung, dass die jährlich auflaufenden Zinsen jeweils im nächsten Jahr mitverzinst werden. Die Entwicklung des Guthabens f(x), x in Jahren, protokollieren wir in einer Tabelle. Dabei führen wir neben dem Zahlenbeispiel auch gleich die allgemeine Formel mit. Wir beobachten von Zeitschritt zu Zeitschritt eine Zunahme um den konstanten Faktor 1,05 der nicht vom jeweiligen Jahr abh"angt. x (nach Jahr) Guthaben f(x) f(x) allgemein
0 1000 b
1 1000+5%*1000 = 1000*(1+0,05)=1050 b(1+p)
2 1000*(1,05) 2 =1102,5 b (1+p) 2
3 1000*(1,05) 3 =1157,625 b (1+p) 3
4 1000*(1,05) 4 =1215,50625 b (1+p) 4
10 1000*(1,05) 10 =1628,89.... b (1+p) 10
x 1000*(1,05) x b (1+p) x
Wir haben also durch (unvollständige) Induktion ermittelt, dass die Entwicklung des Guthabens nach der sogenannten Zinseszinsformel und somit einer Exponentialfunktion verläuft:
f(n) = (1+p)f(n-1) = (1+p) 2 f(n-2) = .... = (1+p) n f(0)
Guthaben nach x Jahren: f(x) = b(1+p) x = b a x   für a=1+p>1
Nach 10 Jahren ist das Guthaben bei einem Zinssatz von 5% also um 62,8% angewachsen. Genau genommen haben wir das Modell nur für natürliche Zahlen als Exponenten aufgestellt und sofort auf reelle Exponenten verallgemeinert. Eine allgemeinere Herleitung findet man unter Ingenieurmathematik. In der Grafik wird die Entwicklung des Guthabens über 30 Jahre dargestellt. Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lassen sich leicht verschiedene Zinsszenarien durchrechnen.

Zum Vergleich: Lineares Wachstum Wenn wir den Zinseszinseffekt weglassen, also auflaufende Zinsen nicht weiterverzinsen, dann erhalten wir nur ein lineares Wachstum des Kapitals. Die Zinsen addieren sich lediglich von Jahr zu Jahr. Hier ist die additiver Zunahme von Zeitschritt zu Zeitschritt konstant.
b= f(0);   f(n) = f(n-1) + pb = f(n-2) + 2pb = .... f(0) + n pb = b + npb = b(1+np)
Als reelle Funktion geschrieben
f(x) = b (1+xp)

Der Graph dieser Funktion ist offenbar eine Gerade. Bei langer Anlagedauer entwickeln sich die Modelle stark auseinander. Beide Zinsmodelle werden Anlegern zum Beispiel in der Form von Bundesschatzbriefen Typ A und B angeboten.

2. Bakterienvermehrung
Bei schnellteilenden Bakterienstämmen wie denen der Klasse E Coli verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien in jeweils ca 20 Minuten. Kolibakterien Die Entwicklung der Bakterienanzahl f(x) protokollieren wir in 20 Minuten Schritten ausgehend von einem einzigen Individuum b=1 zum Zeitpunkt x=0. Beobachtung aus der Tabelle: Nach 1 Stunde hat sich die Zahl der Bakterien verachtfacht, nach 10 Stunden liegen bereits mehr als 1 Milliarde Bakterien vor. Das erklärt die schnelle Entwicklung von Infektionen im Körper durch derartige Bakterienstämme (z.B. EHEC, es genügt schon eine Anfangspopulation von ca. 100 Bakterien).
Das exponentielle Wachstumsgesetz ist hier :
f(x) = b 2 (x/20) = b ( 2 (1/20) ) x = b a x   mit a= 2 (1/20) =1,035264.... (pro Minute)
x (nach Minuten ) Anzahl Bakterien f(x) f(x) allgemein
0 1 b
20 2 b*2
2*20=40 2 2 =4 b*2 2
3*20=60 2 3 =8 b *2 3
4*20 =80 2 4 =16 b *2 4
10*20 =200 2 10 =1024 ... b*2 10
20*20=400 2 20 =1048576 b*2 20
20*30=600 2 30 =1073741824 b*2 30
x 2 (x/20) b 2 (x/20)

3. Radioaktiver Zerfall
Bei einem radioaktiven Isotop wird durch Messung ermittelt, dass pro Tag p=5% der vorhandenen Anzahl der Atome zerfällt. Die Ausgangsmenge am Tag 0 sei 1kg=1000g. Die Entwicklung der Restmenge radioaktiver Isotope f(x) , x in Tagen, protollieren wir in einer Tabelle. Dabei führen wir neben dem Zahlenbeispiel auch gleich die allgemeine Formel mit.
x (nach Tag) Restmenge f(x) in g f(x) allgemein
0 1000 b
1 1000-5%*1000 = 1000*(1-0,05)=950 b(1-p)
2 1000*0,95 2 =902,5 b (1-p) 2
3 1000*0,95 3 857,3 b (1-p) 3
4 1000*0,95 4 =814,50.. b (1-p) 4
10 1000*0,95 10 =598,7 ... b (1-p) 10
x 1000*0,95 x b (1-p) x

Ergebnis: Wir haben also durch (unvollständige) Induktion ermittelt, dass die Entwicklung der Restmenge analog zur Zinseszinsformel mit negativem Zins und somit einer Exponentialfunktion verläuft:
Restmenge nach x Jahren: f(x) = b(1-p) x = b a x   für a=1-p (pro Tag).

Typische Fragestellungen und Aufgaben. Allgemein und im Anwendungskontext.

I. Gegeben: a, b , y.   Gesucht x mit f(x) = y.
Lösung: Aus f(x) = b a x = y folgt durch Logarithmieren   x = log a (y/b)

Im Anwendungskontext:
1. Nach wie vielen Jahren hat sich zu p=4% mit Zinseszins angelegtes Anfangskapital von b=3000 Euro verdoppelt (verdreifacht, ist auf 10000Euro angewachsen) ?
2. Ein Bakterienstamm verdreifacht unter idealen Bedingungen seine Anzahl in 2 Stunden. Nach wie vielen Stunden sind aus 10 Bakterien 1 Milliarde geworden?
3. Von einem radioaktiven Material ist durch Messung bekannt, dass pro Tag 13% zerfällt. Wie groß ist seine Halbwertszeit (also die Zeit nach der nur noch die Hälfte der Menge vorhanden ist)?

II. Gegeben sind (tabellarisch oder im Text) verschiedene x-Werte und die zugehörigen Funktionswerte.
Gesucht sind dazu passende Parameter a, b eines exponentiellen Wachstumsgesetzes. (Es wird also unterstellt, dass exponentielles Wachstum vorliegt).
Im Anwendungskontext 1. Ein Fondsanleger hat vor 7 Jahren Anteile eines Aktienfonds für 10000 Euro gekauft. Heute sind seine Fondsanteile 14000 Euro wert. Er möchte wissen, welche durchschnittliche Rendite der Fondsmanager pro Jahr erzielt hat. Wäre der Anleger mit einer mit einem festen Jahreszins von 6% versehenen festverzinslichen Geldanlage (z.B. Sparbrief, Anleihe, nach Zinseszinsmodell) heute vermögender?
Wieviel Prozent durchschnittliche Jahresrendite hätte der Fondsmanager erzielen müssen, damit sich der Wert der Anteile in den 7 Jahren verdoppelt hätte?

Im Anwendungskontext 3. Berechnung der radioaktiven Zerfallsrate aus der Halbwertszeit.
Beispiel zum radioaktiven Zerfall: Die Halbwertszeit des radioaktiven Isotops Cs 137 beträgt etwa 30 Jahre. Im Muskelfleisch eines Wildschweines aus dem bayrischen Wald, das sich nach der Reaktorkatastrophe von Tschernobyl von mit Cs 137 verseuchten Pilzen ernährte, wird ein Strahlungswert gemessen, der das 25-fache des erlaubten Grenzwertes beträgt. Wie lange (in Jahren) müsste man warten, bis die Strahlung des Muskelfleisches auf den erlaubten Grenzwert gefallen ist?
Halbwertszeit h=30 Jahre. Exponentialfunktion f(x)= b a x , a, b unbekannt
1.Schritt: Berechnung von a: Bekannt aus Halbwertszeit:
b a h = 0,5b also   a h = 0,5 also   a = (0,5) (1/30)
2. Schritt: Berechnung der unbekannten Zeit x für die 1/25-Konzentration aus der Gleichung
b a x = b/25 also   x = log a (1/25) also   x = 139,31... Jahre.

Man müsste also ca. 140 Jahre warten, um das Fleisch dieses Wildschweines unbedenklich essen zu können. Auch heute im Jahre 2011, also 25 Jahre nach der Katastrophe von Tschernobyl, werden jedes Jahr im bayr. Wald Wildschweine erlegt, deren Muskelfleisch erheblich höhere Strahlung aufweist als die von uns verwendete. Die Kenntnis des Parameters b ist hier offensichtlich nicht nötig, da er sich aufgrund der Aufgabenstellung herauskürzt.

III. Unterscheidung zwischen verschiedenen Wachstumsgesetzen:
linear:   f(x) = ax + b       quadratisch:   f(x) = ax 2 + b       exponentiell :   f(x) = ba x

Auch: Bestimmung der Parameter und Prüfung auf exponentielles Wachstum anhand von Wertetabellen.
Beispiel: Stelle mögliche Funktionsterme (des Typs linear, quadratisch, exponentiell) zu den Wertetabellen auf.
x f(x) g(x) h(x)
0 3 3 3 Durch Probieren/Knobeln/Raten/Einsetzen und Auflösen nach den Parametern:
f(x) = x 2 + 3 quadratisch
g(x) = 2x + 3 linear
h(x) = 3*2 x exponentiell.
Hinweis: Diese idealisierte Heuristik eignet sich nur für Ausbildungszwecke um verschiedene Funktionstypen (bzw deren Parameter) anhand einer kurzen Wertetabelle zu erraten. In den Naturwissenschaften werden die Parameter zum Beispiel mit der Methode der kleinsten Quadrate an fehlerhafte Messdaten angepasst (z.B. sog. Ausgleichsgerade)
1 4 5 6
2 7 7 12



IV. Schnittpunkt von Graphen von Exponentialfunktionen bestimmen.
Gegeben sind zwei Exponentialfunktionen f und g. Bestimme x so, dass die Gleichung         f(x) = ba x = g(x) = d c x     erfüllt ist.
Voraussetzung: Die Parameter sind so gewählt, dass ein Schnittpunkt existiert. (Bedingungen dafür?)
Gezeichnet ist das Beispiel f(x) = 3*2 x (rot) und g(x) = 4* 0,5 x (blau)
Lösung mit Methode 1:
Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit der Variablen x auf der einen Seite der Gleichung, alle anderen auf der anderen Seite stehen und logarithmiere die Gleichung dann.
(a/c) x = d/b     und somit     x = log (a/c) (d/b) = lg(d/b)/ lg(a/c)

Lösung mit Methode 2:
Logarithmiere die Gleichung zuerst (wir nehmen der Einfachheit halber sofort den lg, den Log. zur Basis 10 ), wende die Logarithmengesetze an und sortiere dann nach Termen mit x:
lg b + x* lg a = lg d + x*lg c     und somit     x = lg(d/b)/ lg(a/c)


Beispiel zum Anwendungskontext 1. : Man legt auf zwei Konten verschiedene Anfangsguthaben zu unterschiedlichen Zinssätzen an. Wann sind die Guthaben gleich hoch? Beispiel zum Anwendungskontext 2. Nach welcher Zeit ist die Population zweier Bakterienstämme gleich groß?
Stamm1 : Verdoppelungszeit 3 Stunden, Anfangspopulation 100.
Stamm 2: Wachstum pro Stunde um 10%, Anfangspopulation 1000.

Weitere Aufgaben

Aufgabe 1 Herr Genügsam legt einen Betrag von 10000 Euro auf einem Sparkonto an. Der Jahreszinssatz beträgt 4% und es soll nach dem Zinseszinsmodell angelegt werden, das heißt: Die Jahreszinsen werden dem Konto gutgeschrieben und im nächsten Jahr mitverzinst.

(a) Nach wie vielen Jahren hat Herr Genügsam 20000 Euro auf seinem Konto?

(b) Frau Schnell legt einen Betrag von 8000 Euro zu 5% Jahreszinssatz (ebenfalls nach dem Zinseszinsmodell) an. Nach wie vielen Jahren hat sie zum ersten mal mehr auf dem Konto als Herr Genügsam?
(c) Herr Lustig hat 20000 Euro angelegt, verzinst zu 4% nach dem Zinseszinsmodell. Er entnimmt aber seinem Konto am Jahreende stets 7% des jeweiligen Guthabens vor der neuen Zinsgutschrift. Nach wie vielen Jahren ist sein Kontostand erstmals geringer als der von Herrn Genügsam? Nach wie vielen Jahren liegt sein Kontostand erstmals unter 10000 Euro?

Aufgabe 2 Frau Sparsam hat einen Geldbetrag nach dem Zinseszinsmodell (konstante jährliche Verzinsung) angelegt. (a) Nach 8 Jahren ist er um 80% angewachsen. Wie hoch ist der Jahreszins? (b) Wenn ihr Guthaben nach 8 Jahren 15000 Euro beträgt, wie hoch war dann ihr Startguthaben?

Aufgabe 3

Aufgabe 3