Folgen und Reihen

(Inzwischen Stoff der Hochschulen. ) Stand: 30.03.2015.

Folgen

Was sind Zahlenfolgen? Z.B. $ 1; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; .... $ oder $ 1; 1/2 ; 1/3; 1/4; .....$
Das ist die vereinfachte Wertetabelle einer Funktion $ f : I\!\!N \to I\!\! R $ , bei der die Argumente 1, 2, 3 usw. weggelassen wurden. Auführlich geschrieben wie üblich bei Funktionen in einer Wertetabelle.

n | 1 2 3 4 ...
f(n) | 1 4 9 16 ..

Die erste Zeile ("Nummerierung") denkt man sich also dazu. Häufig wird eine Indexschreibweise benutzt um ein Folgenglied zu kennzeichnen $$ f_n = f(n), \quad n \in I\!\! N $$ Die gesamte Folge kann man auch als unendlich langen Vektor betrachten -tatsächlich bilden Folgen unter bestimmten Voraussetzungen auch Vektorräume. Man benutzt daher auch zur Bezeichnung einer kompletten Folge diese Schreibweise $$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $$ Dahinter verbirgt sich im kartesischen Koordinatensystem die Punktmenge $ (n, f_n)_{n \in I\!\!N } $. Die Abszissenwerte sind also nur die natürlichen Zahlen.



Manche Folgen kann man wie gewohnt über einen Funktionsterm, das Bildungsgesetz definieren. Die erste Folge oben etwa $$ f_n = n^2 ; \quad n \in I\!\! N $$ andere Folgen sind nur durch Vorgängerbeziehungen (Rekursion) definiert, z.B. durch lineare Rekursion aus zwei Vorgängern: $$ f_1 =0 , f_2=1, \quad f(n+1) = 2f(n) + 5f(n-1) , \quad n\ge2 $$ Kleine Testaufgabe: Geben Sie für die Folgen $$ 1; { 1\over 3 }; { 1\over 9 } ; { 1\over 27 } ; { 1\over 81 } ; \mbox{ und } .. \qquad -1; { 1\over 4 } ; { -1\over 9 } ; { 1\over 16 } ; - { 1\over 25 } $$ das (vermutliche) Bildungsgesetz und eine Rekursionsbeziehung an.

Bei numerischen Näherungsverfahren (etwa Nullstellensuche, siehe z.B. Informatik/Tabellenkalkulation/Aufgaben) entstehen Zahlenfolgen. Beim Einsatz solcher Verfahren ist man in der Regel daran interessiert, dass die generierte Zahlenfolge möglichst schnell gegen einen bestimmten Wert, den Grenzwert strebt. Man nennt dies Konvergenz . Zur Vorbereitung der exakten Definition der Konvergenz ein kleines
Beispiel. Wie unterscheidet sich für wachsende n das Verhalten der Zahlenfolgen $$ a_n = 3+ {1\over n },\ n \in I\!\! N , \quad \mbox { also } 3+ {1\over 1 } ;\ 3+ {1\over 2 } ;\ 3+ {1\over 3 } ;\ 3+ {1\over 4 } .......$$ und $$ b_n = 3 (-1)^n + { 1\over n }, \ n \in I\!\! N \quad \mbox { also } -3+ {1\over 1 };\ 3+ {1\over 2 } ;\ - 3+ {1\over 3 } ;\ 3+ {1\over 4 }..... ? $$ Der Term $1/n$ wird mit wachsendem n immer kleiner. Für die Folge $a_n $ nähert sich der Wert also immer mehr der Zahl $3$ -sogar streng monoton fallend gegen die untere Schranke $3$. $$ 3 \lt a_{n+1} = 3+ {1\over n+1 } \lt a_n = 3+ {1\over n } .... $$ In jedem beliebig kleinen Intervall um die Zahl 3 liegen ab einem gewissen Index $n_0$ (der von der Größe des Intervalls abhängt) alle weiteren Folgenglieder. Wir können das sogar ausrechnen!
Wir geben uns dazu eine Intervallbreite $r \gt 0 $ vor und fragen: Ab welchem $n_0$ liegen alle $a_n, n\ge n_0$ im Intervall $[3-r; 3+r ]$?
Offenbar dann, wenn $ 3+ 1/n \le 3+ r $, also $ n \ge 1/r $ erfüllt ist. Nehmen wir also zu einer vorgegebenen Intervallbreite $ r \gt 0$ als $n_0 $ die nächstgrößere natürliche Zahl zu $ 1/r $ , so liegen alle weiteren Folgenglieder mit $ n \ge n_0$ im Intervall. Und damit immer nur endlich viele außerhalb. Da wir dies für jedes beliebige $r\gt 0$ durchführen können, ist $3$ Grenzwert der Folge $ (a_n)_{ n \in I\!\! N } .$
Für die Folge $ (b_n)_{ n \in I\!\! N } .$ stellt sich die Situation komplett anders dar. Hier liegen zwar in jedem beliebig kleinen Intervall um die $3$ immer unendlich viele Folgenglieder, aber ebenso um die Zahl $-3$ , d.h. es liegen auch immer unendlich viele außerhalb der Intervalle. Die Folgenglieder springen also hin und her zwischen zwei sogenannten Häufungspunkten, hier $3$ und $-3$. Sie ist damit nicht konvergent, sondern divergent.
Aber man kann die Folge immerhin in zwei konvergente Teilfolgen aufsplitten, die jeweils gegen einen Häufungspunkt konvergieren. $$ b_{2n} = 3 (-1)^{2n} + { 1\over 2n } = 3 + { 1\over 2n } \to 3 \qquad b_{2n-1} = 3 (-1)^{2n-1} + { 1\over 2n-1 } = -3 + { 1\over 2n-1 } \to -3 $$ denn $(-1)^{2n} = 1 $ und $(-1)^{2n-1} = -1 $



Zur Abrundung der Vorbereitung betrachten wir noch die Folge $$ f_n = n , \quad n \in I\!\! N $$ Diese hat noch nicht einmal Häufungspunkte, sie wächst streng monoton und ist nicht beschränkt. Auch keine Konvergenz!

Definition Konvergenz der Zahlenfolge $ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ gegen einen Grenzwert $g$.
Umgangssprachliche Definition:
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ gegen einen Grenzwert $g$: In jedem Intervall um den Grenzwert g liegen ab einem gewissen (von g abhängigen) Folgenglied alle weiteren - und somit immer nur endlich viele außerhalb des Intervalls
Mathematisch formuliert: Die Folge $ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ konvergiert gegen einen Grenzwert $g$, genau dann, wenn es zu jedem $r>0$ einen Index $n_0(r) $ gibt, so dass $$ f_n \in [ g-r ; g+ r ] \quad \mbox{ für alle } n \ge n_0. $$ Schreibweise (lim erinnert an das lat Wort limes = Grenzwall) $$ g = \lim_{n \to \infty } f_n $$

Testfrage: Konvergiert oder divergiert diese Folge? Vergleichen Sie mit $a_n $ und $b_n$ oben! $$ c_n = { (-1)^n \over n } + 3 $$

Weitere Definitionen und nützliche Konvergenzkriterien.

Monotonie wird wie bei Funktionen definiert.
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ monoton steigend : $ f_{n} \le f_{n+1} $ für alle $n \in I\!\!N $
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ streng monoton steigend : $ f_{n} \lt f_{n+1} $ für alle $n \in I\!\!N $
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ monoton fallend : $ f_{n} \ge f_{n+1} $ für alle $n \in I\!\!N $
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ streng monoton fallend : $ f_{n} \gt f_{n+1} $ für alle $n \in I\!\!N $
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ nach oben beschränkt : Es gibt eine Konstante $ c\in I\!\!R $ mit $ f_{n} \le c $ für alle $n \in I\!\!N $
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ nach unten beschränkt : Es gibt eine Konstante $ c\in I\!\!R $ mit $ f_{n} \ge c $ für alle $n \in I\!\!N $
$ (f_n)_{n \in I\!\!N } $ beschränkt : Nach oben und unten beschränkt.

Sätze Eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge ist konvergent.
Eine monoton wachsende , nach oben beschränkte Folge ist konvergent.
Jede konvergente Folge ist auch beschränkt (nach oben und unten). Anders ausgedrückt: Eine unbeschränkte Folge kann niemals konvergent sein!
Satz von Bolzano Weierstraß: Jede beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt, (aber nicht unbedingt einen Grenzwert!) Die beschränkte Folge hat aber mindestens eine (gegen den Häufungspunkt) konvergente Teilfolge.
Folgerung: Eine beschränkte Folge mit nur einem Häufungspunkt ist konvergent.
Beschränktheit ist hier wesentlich! Siehe $a_n = ( (-1)^n +1)^n $ Genau ein HP, unbeschränkt, nicht konvergent.

Noch ein Beispiel: Betrachte die Zahlenfolge $$ d_n = \left\{ \begin{array}{l} n \quad \mbox{falls n gerade } \\ {1\over n } \quad \mbox{falls n ungerade } \end{array} \right. $$ Diese Zahlenfolge ist unbeschränkt (Bolzano Weierstraß greift also nicht) und besitzt einen Häufungspunkt (0) und eine dagegen konvergente Teilfolge.

Definition der Eulerschen Zahl e bzw über einen Grenzwert $$ e = \lim_{n\to \infty } \left(1 + {1 \over n } \right)^n $$ (es gibt noch andere Definitionen - man muss dann jeweils die Äquivalenz zeigen )

Ein wichtiger Satz zum Thema Wachstum:

Vergleich polynomial wachsende und exponentiell wachsende Zahlenfolgen.
P sei ein Polynom von irgendeinem Grad m. Dann gilt : $$ \lim_{ n \to \infty } |P(n)|^{1/n} = 1 = \lim_{ n \to \infty } |P(n)|^{-1/n} $$ oder anders gesagt: Exponentielles Wachstum/Abklingen schlägt polynomiales Wachstum/Abklingen. Diesen Satz kann man elementar, allerdings dann etwas umständlich beweisen. Mit Mitteln der Analysis auf reelle Funktionen angewandt geht es eleganter, siehe zum Beispiel Differentialrechnung Seite 3. Einige Beispiele und Konsequenzen (Umformulierungen): $$ \lim_{ n \to \infty } |1+ n^5 + n^{10000} |^{1/n} = 1, \qquad \lim_{ n \to \infty } \left| {1 \over n^{1234567} } \right|^{1/n} = 1 $$ Für jede Zahl $r>1$ gilt $$ \lim_{ n \to \infty } { |P(n)| \over r^n } = 0 $$ Anders gesagt: Die Folge $ r^n / |P(n)| $ wächst unbeschränkt.

Weitere Beispiele siehe unten.

Summen, Produkte, Quotienten von Folgen und Grenzwerten:
Voraussetzung: $(a_n)_{n \in I\!\!N } , (b_n)_{n \in I\!\!N } $ sind konvergente Zahlenfolgen. Dann: $$ \lim_{ n \to \infty } (a_n \pm b_n) = \lim_{ n \to \infty } a_n \pm \lim_{ n \to \infty } b_n $$ $$ \lim_{ n \to \infty } (a_n \cdot b_n) = \lim_{ n \to \infty } a_n \cdot \lim_{ n \to \infty } b_n $$ Zusätzlich sei $ \lim_{ n \to \infty } b_n \ne 0 $ $$ \lim_{ n \to \infty } {a_n \over b_n } = { \lim_{ n \to \infty } a_n \over \lim_{ n \to \infty } b_n } $$

Beispiele/Aufgaben: Untersuche die angegebenen Folgen auf Beschränktheit, Häufungspunkte, Konvergenz und bestimme ggf. den Grenzwert. Überall jeweils $ n \in I\!\! N $. $$ a_n = (-1)^n ; \quad b_n = (-2)^n ; \quad c_n = (-2)^{-n} ; \quad d_n = { n +1 \over n^2 + 1 } \quad e_n = { 7n^2 +n \over n^2 + 1 } ; \quad f_n= { n^2 +n \over n + 1 } ; \quad g_n = { n^2 +n \over n^3 + n^{-2} } $$ $$ h_n = { n + \sqrt{n} \over 7n + 1 } ; \quad l_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n-1} ;\quad p_n = (-1)^n { 1\over n } + 5 ; \quad q_n = (-1)^n 5 +{ 1\over n } $$ $$ r_n = {n^5 \over 1,00001^n } ; \quad t_n = { 1,001^n \over n^{1001} } $$ $$ x_n = { n^{200} \over 2^n } \qquad y_n = { 2^n \over n! } \qquad z_n = { { n^n\over 2^n } \over n! } $$

Der Grenzwert einer Funktion kann in natürlicher Weise über den Grenzwert von Folgen definiert werden.

Grenzwert einer Funktion und Stetigkeit
Die Funktion $f$ besitzt an einer Stelle $ x^* \in D(f) $ den Grenzwert $f(x^*) $, genau dann wenn für jede Zahlenfolge $x_n \in D(f), n\in I\! \! N $ mit Grenzwert $x^*$ auch $$ \lim_{n \to \infty } f(x_n) = f(x^*) $$ gilt.
Eine solche Funktion nennen wir stetig an der Stelle $x^*$.
Ist eine Funktion $f$ stetig in allen $x\in D(f) $ , so nennen wir sie stetig. Wenn $x^*$ nicht im Definitionsbereich von $f$ liegt, aber alle Grenzwerte dort übereinstimmen $$ y = \lim_{n \to \infty } f(x_n) = f(x^*), \mbox{ für jede Folge } x_n \to x^* $$ dann können wir die $f$ dort stetig fortsetzen zu einer neuen Funktion mit erweitertem Definitionsbereich, der stetigen Fortsetzung von $f$.
$$ \bar{f} (x) = \left\{ \begin{array}{l} \ f(x), \quad x \in D(f) \\ y, \quad x = x^* \end{array} \right. $$

Die Forderung "für jede Zahlenfolge mt Grenzwert $x^*$ " ist hier wichtig.
Betrachte als Beispiel die Signumfunktion $$ sgn(x) = \left\{ \begin{array}{l} \ 1, \quad x \ge 0 \\ -1, \quad x \lt 0 \end{array} \right. $$ Für Zahlenfolgen mit positiven Gliedern, die gegen Null konvergieren, hat diese Funktion den Grenzwert 1 (sogenannter rechtsseitiger Grenzwert), für Nullfolgen mit negativen Gliedern den Grenzwert -1 ( linksseitiger Grenzwert) . Weiteres Beispiel: $$ f(x) = \sin(x^{-1} ) , \ x\ne 0, f(0) = 0 $$ Hier kann man sogar zu jedem Wert y im Intervall [-1;1] eine passende Nullfolge $x_n$ finden, so dass $$ \lim_{n \to \infty } f(x_n) = y $$ Etwa $$x_n = { 1 \over (2\pi n) } \Rightarrow f(x_n) = \sin(2\pi n) = 0, \qquad x_n = { 1 \over (2\pi n \pm 0,5 \pi ) } \Rightarrow f(x_n) = \sin(2\pi n \pm 0,5 \pi ) = \pm 1, $$ usw. allgemein : $$ x_n = { 1 \over (2\pi n + \alpha ) } \Rightarrow f(x_n) = \sin(\alpha) $$ Beispiele zur stetigen Fortsetzung z.B. unter gebrochen rationale Funktionen $$ f(x) = { x^3 + x \over 3x} , \ x \ne 0 $$ Stetige Fortsetzung an $x=0:$ Ergibt sich der Grenzwert $y= 1/3$. Hier kann man sogar durch kürzen einen Funktionsterm angeben, der die stetige Fortsetzung komplett beschreibt: $$ \bar{f} (x) = { x^2 + 1 \over 3} , \ x \in I\!\!R . $$ Hinweis: Fragen der stetigen Fortsetzbarkeit von Quotienten kann man oft sehr schnell und elegant mit Mitteln der Differentialrechnung (Regeln von L'Hospital oder Reihenentwicklung) beweisen, etwa $$ \lim_{ t \to 0 } { \sin(t) \over t } =1 $$ In diesem Fall geht es auch direkt durch eine geometrische Abschätzung (wird im Abschnitt Differentialrechnung 2, Ableitung der Sinusfunktion, siehe Bild dort, benutzt). Am Einheitskreis/Dreieck zu sehen: $ \sin(t) \le t \le \tan(t) $