Funktion und Relation

(Aktualisiert:11.3.2015) Neben dem Mengenbegriff ist der Funktionsbegriff grundlegend in der Mathematik. Seine verschiedenen Aspekte und die Darstellungsformen von Funktionen werden hier erläutert.

Definition Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich
Eine Funktion $f$ ist eine Abbildung einer Menge X in eine Menge Y, wobei jedem $x\in X $ (dem Urbild, Argument) höchstens ein $ y \in Y $ (das Bild, der Wert) zugeordnet wird mit $y=f(x)$.
Geschrieben $ f: x\mapsto f(x) , x\in D(f) $
Die Menge der Urbilder nennen wir Definitionsbereich D(f), die Bildmenge Wertebereich W(f) von f. $f(x)$ ist der Funktionsterm.
Ein Bild kann verschiedene Urbilder haben, aber zu einem Urbild darf es nicht verschiedene Bilder geben.




Eine Funktion kann direkt durch eine derartige Mengenzuordnung -sie enthält Definitionsbereich und Abbildungsvorschrift - festgelegt werden, oder durch eine formelmäßige Zuordnungsvorschrift mit Definitionsbereich. Die obige Funktion entsprächen dann anders geschrieben mit einem Funktionsterm $f(x)=x^2 $ $$ f: x \mapsto x^2 , D(f) = \{-2,-1,0,1,2 \} $$ X und Y könnten hier jeweils die Menge der ganzen Zahlen (Z) sein.
Die zweite Funktion $g$ hat zwar dieselbe Abbildungsvorschrift wie $f$, aber einen kleineren Definitionsbereich. Deshalb ist sie auch umkehrbar (rot): zu jedem y gibt es höchstens ein x mit g(x)= y.
Wir könnten das Bild zu natürlich auch als vereinfachte Darstellung einer allgemeineren Funktion ansehen, deren Definitions- und Wertebereich zu groß sind, um sie vollständig im Mengenbild darzustellen, etwa die reelle Funktion $$ f: I\!\!R \to I\!\!R \quad , f: x \mapsto x^2 , D(f) = [-2;2] $$ oder gar $$ f: I\!\!R \to I\!\!R \quad , f: x \mapsto x^2 , D(f) = I\!\!R $$ Dies ist natürlich wieder eine andere Funktion als die zuerst angegebene, die ja nur auf ganzen Zahlen operiert. Obwohl die Abbildungsvorschrift dieselbe ist.

Eine Funktion kann man auch durch eine Wertetabelle angeben.
x | -2 -1 0 1 2
y | 4 1 0 1 -2

Diese Funktion ist genau die im ersten Bild gezeichnete Funktion $f$. Diese Darstellung als Wertetabelle deutet schon an, dass man eine Funktion auch als Menge von Zahlenpaaren (x,y) sehen kann, die die Funktionsbedingung "zu jedem x aus D(f) höchstens ein y mit y= f(x) " erfüllt. Eine Funktion ist also immer auch eine spezielle Teilmenge der Produktmenge (kartesisches Produkt) $ X \times Y $- der Menge aller Paare $(x,y), x\in X, y\in Y$ .
Wir hätten unsere Funktion oben also auch so schreiben können (Z bezeichne hier die Menge der ganzen Zahlen) $$ f: \{ (x,y) \in Z \times Z \ | \ y = x^2, x\in D(f)= \{ -2, -1, 0, 1, 0 \}\ \} $$ oder einfach als Aufzählung der Paare - wie bereits in der Wertetabelle.
Diese Menge wird graphisch im kartesischen Koordinatensystem dargestellt, wenn man X und Y rechtwinklig zueinander aufträgt.
f hier dargestellt einmal als Funktion auf ganzen Zahlen, einmal als reelle Funktion mit $D(f) \subset I\!\!R $
   

Wir sehen hier wieder, dass es zu einem Bild $y \in W(f)$ z.B. y=1 , zwei verschiedene Urbilder (x=1 und x=-1) gibt. Die Funktion ist also nicht umkehrbar. Wir erhalten aber eine umkehrbare Funktion mit demselben Funktionsterm, wenn wir den Definitionsbereich passend einschränken, etwa die für Funktion $$ g: x \to x^2 ,\ x \ge 0 $$ (siehe Bild unten) oder auch nur die andere "Hälfte": $g_- : x \to x^2 ,\ x \le 0 $ (anderer Parabelast)



In rot die Umkehrfunktion $ g^{-1} : x \to \sqrt{x}, \ x \ge 0 $.
Diese berechnet man auf dem eingeschränkten Definitionsbereich ($x \ge 0) ! aus dem Funktionsterm von $g$ wie folgt: $$x\ge 0, \mbox{ und } y=x^2 \Longrightarrow x = (+) \sqrt{y} = g^{-1}(y) $$ Wir müssen hier den positiven "Ast" der Wurzel nehmen, da wir für g den Definitionsbereich $x\ge 0$ gesetzt hatten! Diese Menge ist nun Wertebereich der Umkehrfunktion.
Funktion und ihre Umkehrfunktion: $$ W(g) = D(g^{-1} ) \quad D(g) = W(g^{-1} ) \quad y= g(g^{-1}(y) ) , \quad x = g^{-1}(g(x) ) $$ Die Verkettungen $ g\circ g^{-1} : Y \to Y $ und $ g^{-1} \circ g : X\to X $ sind also eine Identitätsabbildung, allgemeinsprachlich ausgedrückt: Was man hineinsteckt, bekommt man wieder heraus. ;)
Wenn wir die Umkehrfunktion in dasselbe Koordinatensystem wie $g$ eintragen wollen, müssen wir noch die Variablen umbennen $ g^{-1}(x) = \sqrt{x} $. Variable können wir in der Abbildungsvorschrift bekanntlich nennen wie wir wollen.
Der Graph der Umkehrfunktion ist also die Spiegelung des Graphen der Funktion an der Geraden $y=x$.
Statt der umständlichen Schreibweise $ f: x \mapsto f(x) , x\in D(f) $ haben sich auch Kurzschreibweisen eingebürgert.
$ y= f(x), x\in D(f) $ also etwa $ y=x^2 , x\in I\!\!R$ , $ f(x) = x^2 , x\in I\!\!R $
Es sein noch einmal betont, dass eine Funktion immer aus Abbildungsvorschrift (z.B. Funktionsterm) und Definitionsbereich besteht
Wenn der Definitionsbereich klar ist bzw. der maximal mögliche sein soll, dann wird er manchmal weggelassen (das sollte man aber vermeiden). In diesem Zusammenhang: Einer der häufigsten Schüler- und auch Studentenfehler ist eine flotte Rechnung des folgenden Typs $$ x^2 = 4 \Rightarrow x =2 $$ Genau genommen hat man da eine Umkehrfunktion zu wenig angewandt. Und sich selber damit um die halbe Lösungsmenge betrogen!

Verkettung von Funktionen
Funktionen kann man verketten, "hintereinanderschalten" , wenn Definitions- und Wertebereiche zueinander passen.

Betrachten wir als konkretes Beispiel zunächst die Funktionen
$$ f: x \to \sin(x), \ D(f) = I\!\!R, \ W(f)= [-1;1] \mbox{ und } \quad h: x \to {1 \over x^2 } , \ D(h) = I\!\!R \setminus \{0\} , \ W(h)=I\!\!R^+ $$ Wir bilden die verketteten Funktionsterme und überlegen uns, wie wir die Definitionsbereiche zu wählen haben, damit Funktionen enstehen. Unkritisch ist die Verkettung $$ f\circ h : x\to \sin(x^{-2} ) , \mbox{ also}\quad f(h(x)) = \sin(x^{-2} ), \quad D( f\circ h ) = D(h ) = I\!\!R \setminus \{0\} $$ denn der Definitionsbereich von $f$ bestand aus allen reellen Zahlen und der Wertebereich von $h$ ist davon sogar nur eine Teilmenge. $$ W(h)=I\!\!R^+ \subset I\!\!R = D(f) $$ Die umgekehrte Verkettung $ h (f(x) ) = (\sin(x))^{-2} $ verlangt etwas Nachdenken, denn $h$ ist an Null nicht definiert, und $f = \sin $ hat leider abzählbar unendlich viele Nullstellen in der Wertemenge, nämlich die Nullstellenmenge $$ N(f) := \{ x\in I\!\!R\ |\ f(x) = 0 \} = \{ x\in I\!\!R\ |\ x = k\pi, \ k\in Z \} $$ Diese müssen wir aus dem Definitionsbereich ausschließen, damit eine sinnvolle Funktion entsteht. $$ h\circ f : x \to { 1 \over \sin^2(x) } = h(f(x)), \quad x \in I\!\!R \setminus N(f) $$ Der Definitionsbereich dieser Funktion ist also nur eine Teilmenge von $D(f) $. Genauer gesagt, wir haben die Verkettung mit einer neuen Funktion $f$ gebildet, deren Definitionsbereich aus allen reellen Zahlen ohne die ganzzahligen Vielfachen von $\pi $ besteht. (Einschränkung des Definitionsbereichs). Zahlen wie $ 0, \pi, 2\pi , .... , -\pi , -2\pi ... $ gehören nun nicht mehr dazu.
Das Beispiel hat uns gezeigt, welche Bedingung eine Verkettung erfüllen muss, damit diese wieder eine Funktion darstellt. $$ h: X \to Y , f:Y \to Z \mbox{ Funktionen mit } W(h) \subseteq D(f) \Rightarrow f\circ h : x \to f(h(x)) \mbox{ ist Funktion und } D(f\circ h) = D(h) $$ Den Wertebereich der verketteten Funktion muss man separat untersuchen. Sicher ist nur : Wenn $ W(h) = D(f)$ dann auch immer $ W(f \circ h) = W(f) . $
Bei unserem obigen Beispiel war zwar $W(h) = I\!\!R^+ $ eine echte Teilmenge von $D(f)$. Dennoch erhalten wir auch hier wegen der Wertewiederholung (Periodizität) der Sinusfunktion alle Werte aus $W(f)= [-1;1] . $


Relationen
Die folgende Abbildung zeigt keine Funktion, sondern nur eine Relation, also nur eine Teilmenge der Produktmenge $X\times Y $ - ohne die Funktionsbedingung. Es gibt mindestens ein Urbild x, z.B. x=3, dem zwei verschiedene Bilder (y=4, y=-4) zugeordnet sind. Funktionen sind also spezielle Relationen.


Diese Relation könnten wir auch (allgemeiner) in Mengenschreibweise mit einem definierenden Term angeben. Hier gleich ausgedehnt auf die rellen Zahlen. $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | \ x^2 + y^2 = 5^2 \} $$ im kartesischen Koordinatensystem stellt diese Relation die Kreislinie eines Kreises mit Radius 5 und Mittelpunkt (0,0) dar. Zu manchen y-Werten gehören zwei x-Werte, also liegt keine Funktion vor.
Weitere Beispiele für Relationen sind zum Beispiel Mengen, die durch Ungleichungsbedingungen bestimmt sind. $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | x \le y \le 3x +1 \} $$ oder $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | x^2 \le y \le 3x +1 \} $$ Auch durch die Relationen $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | |x-y | =1 \} $$ oder $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | |x-y | \le 1 \} $$ werden Teilmengen des $ I\!\!R^2 = I\!\!R \times I\!\!R $ beschrieben, die keine Funktionen sind. (Skizze der Mengen = Übung)


Zahlenfolgen sind auch spezielle Funktionen
Sicher haben Sie schon einmal eine Zahlenfolge wie $$ 1; {1 \over 2 } ; {1 \over 4 } ..... $$ gesehen. Auch dieses ist eine spezielle Funktion, wenn man jede Zahl mit einer ganzzahligen Nummer - in der Mathematik Index genannt - versieht. Diese hat man der Einfachheit halber in der "Wertetabelle" oben weggelassen Wir hätten dann schreiben können in Indexschreibweise: $$ f_1= 1; \ f_2 = {1 \over 2 } ; \ f_3 = {1 \over 4 } .... $$ oder die funktionale Abhängigkeit stärker betonend $$ f(1) =1;\ f(2) = {1 \over 2 } ; \ f(3) = {1 \over 4 } .... $$ Dahinter steht offensichtlich eine Funktion die die natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen abbildet : $ f : I\!\!N \to I\!\!R $. Genau genommen hier in die rationalen Zahlen, wenn man das (vermutliche) Bildungsgesetz, den Funktionsterm, hinschreibt, welches diese Folge generiert: $$ f(n) = 2^{n-1} $$ Manchmal sieht man auch Null als Index oder sogar negative ganze Zahlen - alles möglich. Das Besondere an diesen speziellen Funktionen ist, dass man nicht immer ein Bildungsgesetz in Form eines Funktionsterms benötigt oder vorleigen hat, sondern zur Festlegung nur eine Vorgängerbeziehung (Rekursion) , hier etwa $$ f(1) =1 , \quad f(n+1) = {f(n)/2 } , \quad n=2, 3, 4, .. $$ Alle Algorithmen, die mit Zahlen arbeiten, generieren solche Zahlenfolgen. Seit der Antike bekannt zum Beispiel das Babylonische Wurzelziehen zur Wurzelnäherung und die Archimedische Näherung der Kreiszahl $\pi$ , später kamen allgemeinere Näherungsverfahren für Nullstellen von Funktionen (Sekantenverfahren, Newtonverfahren) usw. Jeder Rechner, der Modellgleichungen näherungsweise löst, generiert solche Zahlenfolgen.
Manchmal ist es möglich ein explizites Bildungsgesetz /=Funktionsterm) anzugeben, manchmal aber auch nicht, dann hat man nur die Rekursionsformel. Ein schönes Beispiel, bei dem man mit etwas Mühe (u.a. mit linearer Algebra/Eigenwerte) ein Bildungsgesetz erschließen kann, sind die Fibonacci-Zahlen (Folge) $$ f(1) = 1; \quad f(2) = 1; \quad f(n+1) = f(n) + f(n-1) \quad n=2, 3, 4, .. $$ Fibonacci
Nun noch etwas zum Thema Rätselaufgaben und Allgemeinbildung. Oben schrieb ich einmal "vermutliches" Bildungsgesetz. Genau genommen werden bei einer Aufzählung der Folgenglieder immer nur endlich viele Glieder angegeben. In Einstellungstests und Rätselaufgaben sind das meistens 4-5 Glieder und dann soll man die nächste Zahl nennen. Eigentlich - aus Sicht der Mathematik - ist das Humbug, denn jede Zahl wäre richtig. Den Grund nenne ich gleich. Es geht bei den Tests eigentlich nur darum, ein möglichst einfaches Bildungsgesetz zu erraten und daraus den Nachfolger zu errechnen. - nur gibt es für "möglichst einfach" keine verbindliche Definition. Es gibt zu jeder beliebigen Nachfolgezahl nämlich ein Interpolationspolynom (also eine ganzrationale Funktion) das die bisherigen Werte annimmt und die Nachfolgezahl, also ein polynomiales Bildungsgesetz. Auch dieses Polynom kann man errechnen, sogar mit einem rekursiven Verfahren, der Grad ist von der Anzahl der angegebenen Folgenglieder abhängig.
Hat man etwa n Folgenglieder $f(1), ...f(n) $ angegeben , nimmt ein beliebiges weiteres seiner Wahl dazu also eine Zahl $f(n+1) $ so hat man die n+1 Werte $ f(1), ...f(n+1) $ zu interpolieren. Man sucht also ein Polynom $P$ mit den Eigenschaften $ P(k) = f(k) , k=1 ... n+1 . $ Welchen Grad wird dieses Polynom mindestens besitzen?
Beispiel $n=2 $ : Gegeben die beiden Zahlen $ f(1), f(2)$ wir nehmen einen beliebigen Wert $f(3)$ nach Wunsch dazu. Dann genügt eine quadratische Funktion (Grad 2) $$ P(x) = ax^2 + b x + c $$ um die 3 Bedingungen $P(1) = f(1), P(2) = f(2) , P(3) = f(3) $ zu erfüllen. Dieses Gleichungssystem ist stets eindeutig lösbar (Satz). Genauso geht es mit mehr Folgengliedern. Es gibt also für jeden Nachfolger einer endlichen Zahlenfolgen immer (sogar ) ein polynomiales Bildungsgesetz, das diesen erzeugt. Wie man das berechnet soll hier nicht diskutiert werden, es ist aber nicht besonders schwierig , und in der rekursiven Variante auch nicht besonders aufwendig. In der umständlichen Lagrange-Darstellung kann man es sogar sofort hinschreiben.
Interpolation
Diese Art Intelligenztests bzw. Rätselaufgaben sind also nicht eindeutig lösbar sondern setzen auf die Assoziation der "einfachsten " Lösung. Bei der Folge $ 1, 2,3, 4, 5, .... $ ist die Fortsetzung 6 - im Prinzip genauso möglich wie -1000 oder $ 1/1000 .$


Funktionenscharen und Funktionsbegriff in anderen Disziplinen
In der Mathematik wird in der Regel genau unterschieden zwischen formbestimmenden Parametern, die Funktionenscharen festlegen, und der funktionalen Abhängigkeit dieser Funktionen von einer Variablen. So wird zum Beispiel die Funktionenschar aller quadratischen Funktionen einer reellen Variable so beschrieben: $$ f_{a,b,c} (x) = ax^2 + bx + c , \quad x \in D(f) $$ Für jeden festen Parametersatz $a,b,c $ erhält man so eine quadratische Funktion mit der Variablen x. Die Funktionenschar ist also eine Menge von Funktionen gleichen Typs. Siehe auch die weiteren Seiten auf dieser HP.
In einer Programmiersprache wird of nicht zwischen Variablen und Parametern unterschieden - dort werden alle Werte, die einer Funktion übergeben werden, Parameter genannt. Dem Rechner sind die Bedeutungen egal. Will man etwa die Funktion in einer Programmiersprache auswerten, so schreibt man z.B. ein Stück Code wie
 
function Quadratfunktion(x,a,b,c) 
{  var x,a,b,c :REAL ;                                /*   Definiere x,a,b,c als reelle Variable :  */ 
    Quadratfunktion = a*x*x + b*x* + c ;   /* Wertzuweisung, manchmal auch mit :=  */
    return 	Quadratfunktion                       /*  Rückgabe des Wertes an das aufrufenden Programm  */ 	
} 

Man sieht daran, dass der Rechner keinen Unterschied zwischen Parametern und Funktionsvariable macht. Bei CAS Systemen ist das natürlich anders, dort teilt man z.B. mit , nach welcher Variable eine Gleichung gelöst werden oder eine Funktion geplottet werden soll.
Auch hinter den Gesetzen der Physik verstecken sich in der Regel Funktionen, die nur aus dem Kontext als solche verstanden werden können, bzw es werden durch ein Gesetz mehrere wechselseitige funktionale Zusammenhänge definiert.
In Gasgleichungen zum Beispiel Druck aufgetragen als Funktion der Temperatur (=Variable) während das Volumen konstant bleibt (=Parameter) - für jedes Volumen eine neue Kurve. und dann Rollentausch (Isobaren : Druck als Parameter, Isothermen: Temperatur als Parameter usw). Der Definitionsbereich muss häufig dort auch aus dem Kontext erschlossen werden. Längen, Flächen, Volumina nie negativ usw.
Ideales Gasgesetz

In der Mechanik ergibt sich zum Beispiel (siehe Ingenieurmathematik) das Weg-Zeit Gesetz eines Massenpunktes unter konstanter Beschleunigungskraft $a$ entlang einer Geraden als quadratische Funktion der Zeit $$ x(t) = x_0 + v_0 t + {a \over 2 } t^2 , \quad t>0, $$ mit den Parametern $ x_0 = x(0) : \mbox{Anfangsort bei } t=0, \ v_0: \mbox{Anfangsgeschwindigkeit bei } t=0 $ und $a$ Beschleunigung(skraft).

Testfragen
A1: Funktion oder nur allgemeiner eine Relation und keine Funktion?
x | -2 -1 0 2 2
y | 4 1 0 1 -2

A2: Funktion oder nur allgemeiner eine Relation und keine Funktion, evtl. zerlegbar in verschiedene Funktionen, Definitionsbereiche? Skizze! $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | \quad x^2-y^2 = 1 \} $$ A3: Funktion? , gibt es eine Umkehrfunktion? $$ \{ (x,y)\in I\!\!R \times I\!\!R \ | \quad y = x^3 , x\in I\!\!R \} $$ A4: Jeweils Umkehrfunktion zu $ y=-3x + 2 , x \in I\!\!R $ sowie $ y=-3x + 2 , x \in [-2; 5] $ mit Definitions- und Wertebereichen



A5: Zerlege den Definitionsbereich der angegebenen Funktion in maximal große Teilmengen, sodass die Funktion auf diesen umkehrbar wird und gib die Umkehrfunktionen mit ihrem Definitionsbereich an. Skizze hilfreich! $ y= x^4 -16, \ x\in I\!\!R .$

A6: Zerlege den Definitionsbereich der angegebenen Funktion in maximal große Teilmengen, sodass die Funktion auf diesen umkehrbar wird und gib die Umkehrfunktionen mit ihrem Definitionsbereich an. Skizze hilfreich! $ y= (x-2)^2 +5, \ x\in I\!\!R .$

A7: Gib zu der Abbildungsvorschrift jeweils einen maximal großen Definitionsbereich an, sodass eine wohldefinierte reelle Funktion vorliegt und bestimme deren Wertebereich. Untersuche dann, ob die Funktion auf diesem Defintionsbereich auch umkehbar ist , bzw. wie dieser einzuschränken ist, damit sie umkehrbar wird. Skizze hilfreich! $$ f(x) = {1 \over 2-x} , \qquad g(x) = {1 \over 2-x^2 }, \qquad h(x) = { 1 \over (1-x)^2 } $$ A8: Gib zu der Abbildungsvorschrift jeweils einen maximal großen Definitionsbereich an, sodass eine wohldefinierte reelle Funktion vorliegt und bestimme deren Wertebereich. Untersuche dann, ob die Funktion auf diesem Defintionsbereich auch umkehbar ist , bzw. wie dieser einzuschränken ist, damit sie umkehrbar wird. Skizze hilfreich! $$ f(x) = ({ 4-x^2})^{1/2} , \qquad g(x) = -\sqrt{x+4} \qquad h(x) = (1-x)^{-1/2 } $$ A9: Betrachte die Relation $$ x^2 + y^2 = 4, \quad x, y \in I\!\!R $$ Zerlege diese Relation in zwei Funktionen (deren Vereinigung soll gerade die Relation ergeben). Untersuche diese Funktionen dann auf Umkehrbarkeit - zerlege evtl. die Definitionsbereiche so, dass sie umkehrbar werden.