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Gerade in der Ebene /Affin lineare Funktionen

Sie gehen auf den Markt und kaufen Äpfel ($x$ Kilo) und eine Tüte um sie darin zu verstauen. Der Preis der Tüte beträgt $b$, der Kilopreis der Äpfel $m$. Dann berechnen sich Ihre Gesamtkosten $y$ für den Einkauf als Summe über den konstanten Anteil $b$ und den mengenabhängigen Anteil $mx$: $$ y = y(x) = mx +b $$ Das Modell, das Ihre Einkaufskosten beschreibt, ist eine sogenannte affin lineare Funktion, geometrisch in der (x,y) Ebene gezeichnet, eine Gerade mit Steigung $m$ und Verschiebung in $y$-Richtung $b$. . Der Preis nur der Äpfel ist ein proportionaler Zusammenhang, doppelte Menge gleich doppelter Preis, dreifache Menge gleich dreifacher Preis, der Proportionalitätsfaktor ist $m$.

Steigung aus dem Steigungsdreieck: $$ m = { \Delta y \over \Delta x } $$ Der y-Achsenabschnitt $b = y(0) $ ist gerade die Verschiebung aus dem Nullpunkt in $y$ Richtung, $a$ der x-Achsenabschnitt, die Nullstelle der Funktion. Wir haben dabei unterstellt (Modellannahme), dass eine beliebige Menge in eine Tüte passt, sonst müssten wir unser mathematisches Modell etwas erweitern (zu stückweise linearen Funktionen). Ebenso gibt es keinen Mengenrabatt, sonst wäre die Funktion auch nicht mehr linear.

Andere Darstellungen der affin linearen Funktion

Achsenabschnittsform.
Einen nicht achsenparallele Gerade schneidet die x-Achse an $x=a$ und die y-Achse an $y=b$. Man kann sie dann so darstellen: $$ { y\over b } +{ x\over a } =1 $$ Der Zusammenhang mit der Darstellung $y= mx + b $ ist offensichtlich. $ a = -b /m $.

Zwei Punkte Form: Zwei Punkte $P_1 = (x_1 , y_1) $ und $P_2 =(x_2,y_2) $ definieren eine Gerade in den $(x,y) $ Ebene $$ m = {\Delta y \over \Delta x } = { y_2 - y_1 \over x_2 - x_1 } $$ Damit kann man die Geradengleichung auch in der sog. Zwei Punkte Form schreiben: $$ { y- y_1 \over x-x_1 } = { y_2- y_1 \over x_2 -x_1 } $$

Gerade über Richtungs- und Verschiebungsvektor

Gegeben Richtungsvektor $ \vec{v} $ und Verschiebungsvektor $ \vec{p } $ Die Gerade ist dann folgende Punktmenge in der Ebene: $$ (x(t) , y(t) ) = \vec{p } + t \vec{v} , \ t \in I\!\! R $$ Man nennt dies auch parametrische Darstellung einer Geraden, der Parameter ist hier $t$.
Die Umrechnung in die Normaldarstellung $y= mx + b $ ist nicht schwer.
Zahlenbeispiel: $$ (x(t), y(t) ) = (-1,3) + t(2,1) \quad x(t) = -1 + 2t \quad y= 3 + 1t $$ $$ t = {(x+1) \over 2 } \quad y = 3 + 1 {(x+1) \over 2 } = {x \over 2 } + { 7 \over 2 } $$ Umgekehrt erhält man aus der Normaldarstellung sofort eine Parameterdarstellung indem man $ x=t $ setzt. $$ y= mx + b , x=t , \qquad (x(t) , y(t) ) = (0, b) + t(1,m) $$ Beliebt sind parametrische Darstellungen, in denen der Verschiebungsvektor (auch "Aufpunkt" ) senkrecht zur Geraden ist. Man kann aus jeder parametrischen Darstellung eine solche spezielle berechnen.

Schnittpunkt $(x_s, y_s) $ zweier Geraden durch Gleichsetzen

Berechnung Schnittpunkt: $$ y = m_1 x + b_1 = y= m_2 x + b_2 \qquad x_s = {b_2 - b_1 \over m_1 - m_2 } \quad y_s = m_2 x_s + b_2 = m_1 x_s + b_1 $$
Zahlenbeispiel:
Gerade 1: $ y= 2x-3 $
Gerade 2:$ y= -3x +1 $
$$ 2x-3 = -3x +1 \rightarrow 5x = 4 \ \Rightarrow \ x_s = { 5 \over 4 } ,\ y_s= 2 { 5 \over 4 } - 3 = -{ 1 \over 2 } $$

Senkrechte auf einer Geraden

$$ y= -{ 1\over m } x + c \mbox{ ist senkrecht zu } y = mx + b $$ Das Bild zeigt durch Überprüfung der Gegenwinkel zum rechten: Das rote Dreieck (Steigungsdreieck der Graden ) ist ähnlich zum grünen (Steigungsdreieck zur Senkrechten). Somit haben sie dieselben Seitenverhältnisse (Ähnlichkeit - Streckung, Seitenverhältnisse bleiben gleich). Es sind jedoch die Rollen von $ \Delta x $ und $ \Delta y $ vertauscht. Somit Steigungen kehrwertig zueinander. Ferner sieht man aufgrund des 90° Schnittwinkels, dass die Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben müssen.

Schnittwinkel zweier Geraden mit Steigung $m_1$ bzw. $m_2$.

Der Schnittwinkel $\alpha $ ist die Summe der beiden Winkel $ \alpha_1 $ und $\alpha_2. $
$\alpha_1 $ gehört zum Steigungsdreieck der Geraden $G_1: y= m_1 x + b_1, $
$\alpha_2 $ gehört zum Steigungsdreieck der Geraden $G_2: y= m_2 x + b_2. $
Somit gilt $$ \tan( \alpha_1) = m_1 \qquad \tan( \alpha_2) = m_2 \qquad \alpha= \alpha_1 + \alpha_2 $$

Aufgaben und Kontexte für affin lineare Zusammenhänge

Gaspreise
Ein Energieversorger bietet seinen Kunden drei Tarife für die Gasversorgung.
Tarif 1: Kein Messpreis, 1 kWh zu 7 ct.
Tarif 2: Messpreis 80 Euro pro Jahr, 1 kWh zu 6 ct.
Tarif 3: Messpreis 150 Euro pro Jahr, 1 kWh zu 5 ct.
Stellen Sie die Kosten jeweils als Funktion des Gasverbrauchs dar (funktional und graphisch im Koordinatensystem) und ermitteln Sie, welcher Tarif bei welchem Verbrauch der günstigste ist.


Problem aus der Betriebswirtschaft (vereinfacht).
Ein Unternehmen hat die Wahl zwischen zwei Produktionsverfahren für ein neu herzustellendes Produkt.
Verfahren 1 hat Fixkosten von 10.000 Euro und variable Kosten von 50ct pro Produkteinheit.
Verfahren 2 arbeitet mit Fixkosten von 20.000 Euro und variablen Kosten von 30 ct pro Produkteinheit. Ab welcher Stückzahl ist Verfahren 2 im Vorteil bei den Gesamtkosten und wie hoch sind dabei die Produktionskosten pro Stück?
Ein weiteres Verfahren 3 wurde auch angeboten. Hier sind Fixkosten von 15000 Euro gegeben. Die Kosten pro Produkteinheit ist 50 ct für die ersten 10000 Stück und sinkt dann für jede weiteren 10000 Stück immer um jeweils 10 Prozent.
Wie sehen die zugehörigen Kostenfunktionen der Verfahren aus. Wie könnte man eine Kostenfunktion zu Verfahren 3 funktional (Kosten als Funktion der Stückzahl) ausdrücken?
Ist dieser Zusammenhang noch affin linear?


Feder, Hookesches Gesetz
Eine elastische Feder der Länge $ l=20 cm $ (in der Ruhelage) wird mit einer Kraft von 2N um 4cm gedehnt. Unter der Annahme, dass sich die Auslenkungen proportional zur Kraft verhalten, soll eine Funktion aufgestellt werden, welche die Länge der Feder bei einer gegebenen Kraft beschreibt. Der Proportionalitätsfaktor heißt Federkonstante, der Graph dieser Funktion Federkennlinie. Vergleiche mit realen Federkennlinien!
Wiki-Federn


Physik: Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Ein Wanderer und ein Radfahrer sind auf derselben Strecke unterwegs. Der Wanderer läuft mit konstant 5 km/h, der Radfahrer schafft 15 km/h. Der Radfahrer startet eine Stunde nach dem Wanderer.
Wann (d.h. zu welchem Zeitpunkt nach Start Wanderer) hat der Radfahrer den Wanderer eingeholt und welche Strecke haben die beiden dann zurückgelegt?
Zeichnen Sie das Weg/Zeitdiagramm und stellen sie auch für beide den Weg als Funktion der Zeit explizit auf.

Historische Anmerkung: Die alten griechischen Philosophen plagten sich mit dem Paradoxon "Achilles und die Schildkröte". Achilles läuft zehnmal so schnell wie die Schildkröte, sagen wir er läuft 100 m in 10 Sekunden, die Schildkröte diese Strecke in 100 Sekunden. Beide bewegen sich auf demselben (geraden) Weg, die Schildkröte hat 100 m Vorsprung. Achilles läuft 10 Sekunden und hat die ersten 100 m geschafft. Die Schildkröte in dieser Zeit 10 m - ist also bei 110 m von Achilles Ausgangspunkt. In der nächsten Sekunde läuft Achilles weitere 10 m, ist also bei 110 m, die Schildkröte auch weitere 1 m, ist also bei 111 m. Nach den nächsten 1/10 Sekunde ist Achilles bei 111 m, die Schildkröte bei 111,10 m. usw. Einige Philosophen argumentierten nun so: Immer wenn Achilles ein Stückchen läuft, kommt auch die Schildkröte ein Stück weiter. Deswegen erreicht er die Schildkröte nie. Andere sagten: Ja aber die Zeiten, in denen die neugewonnenen Strecken betrachtet werden, werden doch auch immer kürzer. Wenn man diese Zeiten immer weiter zusammenzählt, ergibt sich eine bestimmte endliche Zeit, in der Achilles der Schildkröte beliebig nahekommt. Zählt man zu dieser Zeit eine Sekunde dazu, dann muss er schon weiter sein. Also muss er sie zwischendrin überholt haben.

Dies wurde wiederum von der ersten Gruppe bestritten: Wenn man unendlich viele positive Zeiten addiert, kommt auch immer eine unendliche Zeit raus, meinten diese. Also kann er sie niemals erreichen. Das scheint der praktischen Erfahrung zu widersprechen - ein Paradoxon.
Diese Argumentation der zweiten Gruppe mit der endlichen Treffzeit ist richtig, wie man heute auch mit Hilfe der Geometrischen Reihe (Schule/Reihen) nachweisen kann. (1 + 0.1 + 0.01 + .. =1,11111111... ) Dazu muss man aber einen Konvergenzbegriff haben - der war bei den antiken Griechen natürlich noch nicht so klar umrissen. Es hat lange gedauert, die Unendlichkeit axiomatisch sauber zu fassen.
Wir können hier aber schon ganz einfach den Streit beenden, indem wir den Treffpunkt von Achilles und Schildkröte einfach als Schnitt zweier Geraden aus dem Weg-Zeit Gesetz ausrechnen (Schulphysik 8. Klasse). Das geht ohne Konvergenzbegriff, aber man muss sich über den genauen Zusammenhang der physikalischen Größen Zeit, konstante Geschwindigkeit und Weg im Klaren sein.

Ein Öltank fasst 9000 l Heizöl. 3000 l befinden sich noch darin, als der Tankwagen eintrifft. Der Tankwagen pumpt 300l pro Minute. Der Tank soll bis 95 Prozent der Kapazität befüllt werden. Wie lange dauert der Tankvorgang nach Schlauchanschluss in Minuten? Stellen Sie die Füllmenge des Tanks als Funktion der Zeit dar.