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Integration

Ausführliche Informationen (Stammfunktionen, Regeln, Sätze, Tricks ) zum Thema Integration einer reellen Funktion im Bereich Ing-Math. Thema Integration.
Integration /Integralrechnung

Kurzskript Integration in R -Regeln

Anwendungen

Ein Tank besitzt die Form eines auf der Spitze stehenden Kreiskegels mit Grundkreisradius R und Höhe H. Er wird mit einer Flüssigkeit gefüllt, die mit einer Rate $c(t)$ einströmt (zufließendes Volumen pro Zeit). $V(t) $ bezeichne das im Tank zur Zeit $t$ vorhandenene Volumen und $h(t)$ dessen Höhe. $V_0= V(0)$ sei das Anfangsvolumen.

Fragen dazu:
(a) Welche Gleichung beschreibt dann die Volumenänderung pro Zeiteinheit?
(b) Im weiteren sei die Zuflussrate $c(t) = c>0 $ konstant. Zeichne zunächst qualitativ den Verlauf von $V(t)$ und $h(t) $ und gib dann diese Funktionen exakt an.
(c) Nun sei zuätzlich $V_0 = 0$. Zu welchem Zeitpunkt ist das halbe Maximalvolumen im Tank und zu welchem Zeitpunkt ist die Höhe des Flüssigkeitsspiegels auf halber Maximalhöhe? Zu welchem Zeitpunkt ist der Tank voll?

(d) In einem konkreten Tank mit H=1m sei nach 1 min die Füllhöhe h=20cm erreicht. Zum Zeitpunkt $t=0$ war das Volumen $0$ Nach welcher Zeit hat sich die Füllhöhe verdoppelt?

Lösung:
(a) Die zeitliche Änderung des Volumens ist gerade $c(t)$. Also $$ V'(t) = c(t) \Rightarrow V(t) = V_0 + \int_0^t c(s) ds $$ (b) Falls $c$ konstant ist, ergibt sich sofort aus dem Integral: $$ V(t) = V_0 + \int_0^t c ds = V_0 + ct$$ Aus der Volumenformel für einen Kreiskegel, der auf der Spitze steht - der Kreisradius auf Höhe h sei dabei r - und dem Strahlensatz erhalten wir
$$ V(t) = {1 \over 3 } h \pi r^2 , \quad {h \over r } = {H \over R } \quad \Rightarrow V(t) = {\pi R^2 \over 3H^2 } h^3 $$ also $$ h(t) = \left( (V_0 + ct ) { 3H^2 \over \pi R^2 } \right)^{1/3} $$ (c) $V_0=0$.
Halbes Maximalvolumen: $$ ct = V(t) = {V_{max} \over 2 } = {1 \over 6 } H \pi R^2 \Rightarrow t = {1 \over 6 c} H \pi R^2 $$ Halbe Höhe: $$ {H\over 2 } = h(t) = \left( ( ct ) { 3H^2 \over \pi R^2 } \right)^{1/3} \Rightarrow t = {H R^2 \pi \over 24 c } $$ Tank voll: $$ t = {1 \over 3 c} H \pi R^2 $$ (d) Verdoppelung der Füllhöhe nach 8 Minuten da 3. Wurzel.

Azubi Markus färt morgends mit dem Moped zur Arbeit. Er startet sein Moped, beschleunigt in 5s auf eine Geschwindigkeit von 12m/s, behält diese konstante Geschwindigkeit genau 50s bei, bremst dann vor den nächsten Ampel in 5 s auf Null ab. Beschleunigung und Abbremsen sollen jeweils mit konstanter Kraft erfolgen.
Fragen: (a) Stelle Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg jeweils als explizite Funktion der Zeit dar uns skizziere diese drei Funktionen in einem Diagramm über der Zeitachse. Der Startszeitpunkt sei $t=0$.
(b) Wie lange ist die Wegstrecke von Markus Startpunkt bis zur Ampel? Wie lange ist Markus Bremsweg?
(c) Würde Markus ein Auto vor der Ampel einholen können, das ihn zum Startzeitzeitpunkt überholt und mit konstanter Geschwindigkeit von 11m/s fährt?