Rechnen mit Logarithmus und Exponentialfunktion

Der wichtigste Satz, den man immer im Hinterkopf haben sollte:

Der Logarithmus ist nur ein Exponent!

Einen Logarithmus zu berechnen, bedeutet also einen Exponenten zu berechnen. In diesem Abschnitt werden die Rechenregeln für Logarithmus und Exponenten gegenübergestellt und mit einfachen Beispielen illustriert. Im Anschluss findet man einige Testaufgaben mit Rechenübungen und Anwendungen des Logarithmus.
Exponenten Logarithmus Erläuterungen
2 3 = 8 3 = log 2 8 Lies: Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.
Denn 2 hoch 3 ergibt 8.
5 3 = 125 3 = log 5 125 Lies: Der Logarithmus von 125 zur Basis 5 ist 3.
3 4 = 81 4 = log 3 81 Lies: Der Logarithmus von 81 zur Basis 3 ist 4.
1024 0,1 = 2 0,1 = log 1024 2 Lies: Der Logarithmus von 2 zur Basis 1024 ist 0,1 .
7 -2 = 1/49 -2 = log 7 1/49 Lies: Der Logarithmus von 1/49 zur Basis 7 ist -2 .
a 0 = 1
für jede Zahl a > 0
0 = log a 1 Lies: Der Logarithmus von 1 zur Basis a ist Null.
10 4 = 10000 4 = log 10 1000 Lies: Der Logarithmus von 10000 zur Basis 10 ist 4.
Der Logarithmus (auch dekadischer Logarithmus)
zur Basis 10 wird mit lg abgekürzt.
a x = y x = log a y   ,   a log a y = y Lies: Der Logarithmus von y zur Basis a ist x.
Er ist definiert für alle Zahlen y> 0
und alle Basen a > 0
(a x ) (a s ) = a x +s = y log a y = log a ( (a x )(a s ) )
= log a (a x +s ) = x +s
Das zeigt: Der Logarithmus eines Produktes
ist also die Summe der Logarithmen der Faktoren
y = u* w log a y = log a ( u w ) = log a u + log a w Die eben bewiesenen Regel anders geschrieben.
Setze u= a x und w= a s
y = u/ w log a y = log a ( u/ w ) = log a u - log a w Beweis wie für das Produkt.
Setze u= a x und w= a s
243 *9 = (3 5 ) (3 2 ) = 3 7 = 2187 log 3 2187 = log 3 243*9
= log 3 ( (3 5 )(3 2 ) )
= log 3 (3 5 +2 ) = 5+2 =7
Der Logarithmus eines Produktes
ist also die Summe der Logarithmen der Faktoren
81 5 = (3 4 ) 5 =3 ( 4*5 ) = 3 20 = y log 3 3 20 = 20 = 4*5
= 5 * log 3 3 4 = 5 * log 3 81
Der Logarithmus einer Potenz einer Zahl
ist also das Produkt der Potenz mit dem Logarithmus der Zahl.
y = a x
y s = (a x ) s =a ( x*s )
x= log a y
log a (y s ) = log a (a x* s ) = x* s
= s * log a y
Kurz: log a (y s ) = s * log a y
Der Logarithmus einer Potenz einer Zahl
ist also das Produkt aus der Potenz mit dem Logarithmus der Zahl.
y = a x
a = b s
y= b s*x
x= log a y = log b y / log b a
denn s = log b a ,   xs= log b y
Häufig benutzt: log a y = lg y / lg a
Umrechnung für Logarithmen verschiedener Basen,
wird für ältere Taschenrechner gebraucht,
die nur Logarithmen zur Basis 10 und e kennen.
Der Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl) wird mit ln (logarithmus naturalis) abgekürzt.
Der Logarithmus als Funktion u -> log a u: Definitionsbereich ℝ + und Wertebereich ℝ
Das Bild zeigt Graphen zu verschiedenen Basen:
ln(u)   (Basis e)     lg(u)   (Basis 10)   log 0,5 u   (Basis 0,5)

Übungsaufgaben zum Rechnen mit Logarithmen
Aufgabe 1: Berechne jeweils exakt und ohne möglichst ohne Taschenrechner die unbekannte Zahl z. Schreibe die Gleichung auch in Exponentenform.
(a) z = log 5 625 ,   (b) z = log 625 5 ,   (c) z = log 5 1/625
(d) z = log 1/625 5 ,   (e) z = log 625 1/5 ,   (e) z = log 125 625
(f) 4 = log 3 z ,   (g) 3 = log z 27 ,   (h) 0,5 = log z 13   (i) 3/4 = log z 64


Aufgabe 2: Fasse jeweils zu einem Logarithmus zusammen, vereinfache so weit wie möglich.
(a) lg(x+1) + lg(x-1) - 2lg(x) ,   (b) ln(x 3 -1) - ln(x-1) ,   (c) lg( 1/(x+2) ) + 2 lg( 2x+4)) - lg(4)  

Aufgabe 3: Berechne y
(a) y = 3 x mit x = log 9 25   (b) y = 49 0,5*x mit x= log 7 6

Aufgabe 4: Bestimme jeweils die Basis a. Schreibe dazu die Gleichung in Exponentialform.
(a) log a2 (y) = log 9a y
(b) log a0,5 (y) = log 8a y

Wissenschaftliche Zahldarstellung, Rechnen mit großen Zahlen
Die Tabelle mit den Rechenregeln für Logarithmen zeigt: Der Logarithmus führt Rechenoperationen auf einfachere Rechenoperationen zurück: Die Multiplikation auf eine Addition, die Potenzierung auf eine Multiplikation. Dies machte man sich vor der Einführung der Taschenrechner zu Nutze, indem man mit Logarithmentafeln und Rechenschiebern rechnete. Der Taschenrechner benutzt für große Zahlen, (deren Größe die Länge der internen Zahlrepräsentation übersteigt) eine sogenannte wissenschaftliche Zahldarstellung, die jeder Zahl eine Mantisse und einen Exponenten (bezüglich der Basis 10 ) zuordnet.
Zum Beispiel erhalten wir für das Produkt
z= 1111111111*222222= 2,4691133333E14 = 2,46911333333* 10 14
Die Mantisse ist hier 2,4691133333 und der Exponent 14.
Um die Mantisse und den Exponenten zu erhalten, wird einfach der Logarithmus der Zahl z berechnet.
lg(z) = lg(1111111111*222222) = 14.39254454 =x
Der Exponent x wird nun additiv zerlegt in den ganzzahligen Anteil 14 (den Exponenten der wiss. Darstellung) und den Rest von 0,3925... aus dem sich die Mantisse durch Potenzieren der Basis 10 ergibt:
z= 10 14.39254454 = 10 0,39254454 * 10 14 = 2,4691133333 * 10 14
Es ist also Mantisse 2,4691133333 = 10 0,39254454
Dasselbe Verfahren über den Logarithmus kann man nutzen, um auch mit Zahlen zu rechnen, die so groß sind, dass sie im Taschenrechner auch in der wissenschaftlichen Zahldarstellung nicht mehr dargestellt werden können. Wir wollen das Produkt z = (4.2345 * 10 140 ) * (8,248* 10 434 ) berechnen.
Dazu nehmen wir zunächst den lg unter Beachtung der Rechenregeln:
lg(z) = lg(4.2345) + lg(8,248) + 140 + 434 = 1.5431507 + 574 = 0.5431507 + 575
und somit
z = 10 0.5431507 + 575 = 10 0.5431507 * 10 575 = 3.4926156 * 10 575
Man beachte die Übertragung der 1. Genauso wird übrigens auch mit Logarithmentafeln gerechnet.

Aufgabe: Bestimme die wissenschaftliche Zahldarstellung von
3 1000

Anwendung des Log. zur Darstellung von schnell wachsenden Größen
Der Logarithmus transformiert wegen log a a mx + t = mx +t offenbar eine exponentiell (und damit schnell) wachsende (oder fallende) Größe in eine Gerade. Eine Gerade kann unser Auge gut indentifizieren und "überblicken". Daher benutzt man logarithmische Skalen und Charts zur Darstellung exponentieller Zusammenhänge.

Beispiele :
1. Die Richterskala zur Klassifikation der Stärke von Erdbeben. Richterskala
2. Die Dezibelskale zur Abstufung der Lautstärke von Geräuschen. Dezibel
3. Säure/Base in der Chemie: Der pH-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration

4. Logarithmische Charts für Börsenkurse von Unternehmen. In einem kurzfristigen Zeitfenster betrachtet ist die Entwicklung von Börsenkursen zwar stark marktpsychologischen Einflüssen unterworfen, langfristig spiegelt sie aber im wesentlichen die Gewinnentwicklung eines Unternehmens wieder. Ein gut geführtes Unternehmen schafft es oft über viele Jahre in einer dynamischen Wachstumsphase, die Gewinne jährlich mit einem bestimmten Prozentsatz zu steigern. Dieser ist zwar nicht konstant, die Gewinnschwankungen mitteln sich aber über einen mehrjährigen Betrachtungszeitraum heraus, sodass im Mittel ein exponentielles Wachstum vorliegt. (siehe dazu auch die Seite Exponentialfunktionen). Man kann dies zum Beispiel sehr schön zum Beispiel am logaithmischen Kurschart von Coca-Cola im Zeitraum von etwa 1982 bis 1998 sehen:
Coca-Cola Company (The) Common (NYQ)
Die für den Anleger in diesem Zeitraum erzielte durchschnittliche Jahresrendite (wie man diese mit dem Zinseszinseffekt berechnet, dazu siehe Seite Exponentialfunktion) ist sehr beachtlich. Von ca 2$ auf ca 80$ in 16 Jahren entspricht einer durchschnittlichen Jahresrendite von fast 26%. Dabei sind ausgeschüttete Dividenden noch gar nicht eingerechnet!