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Quadratische Funktion und Parabel: Darstellungsformen

Kleine Vorübungen, die Sie zum Einstieg durchführen sollten:
Erste Übung: Zeichnen Sie die Normalparabel $ y=x^2 $ in ein Koordinatensystem ein. Verschieben Sie diese Parabel dann 3 Einheiten nach rechts auf der x-Achse und schreiben Sie den neuen Funktionsterm auf. Verschieben Sie das Ergebnis wieder um 2 Einheiten nach oben auf der y-Achse und schreiben Sie wieder den zugehörigen Funktionsterm auf.

Zweite Übung: Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem wieder die Normalparabel $f(x) = x^2 $ und die daraus abgeleiteten Parabeln $$ g(x) = -2x^2 \quad h(x) = (x-2)^2 ,\quad (x+1)^2 -3 $$ Überlegen Sie sich wie diese Parabeln mit der Normalparabel zusammenhängen. Sie müssen nicht jedesmal eine Wertetabelle anlegen, wenn Sie kurz nachdenken.

Hier können Sie die Wirkung der Parameter a,b,c im Plot testen!

Normalform mit Formparametern $a,b,c.$ $$ y= f(x) = ax^2 + b x + c $$ Scheitelpunktform: $(x_s,y_s) $ Scheitelpunkt. $$ y= f(x) = a( x- x_s)^2 + y_s $$ Nullstellenform (sofern Nullstellen vorhanden sind). $$ y= f(x) = a (x- x_1) (x-x_2) $$ Jede Darstellung enthält eine spezielle Information über die Parabel. Siehe nebenstehende Abbildung mit Scheitelpunkt, Nullstellen, y-Achsenabschnitt c.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform, gegebenenfalls auch Nullstellen bestimmen.

Dies kann mit einem kleinen algebraischen Algorithmus bewerkstelligt werden, den man quadratische Ergänzung nennt. Er beruht lediglich auf einer binomischen Formel. Führt man ihn mit allgemeinen Parametern $a,b,c$ durch, erhält man nebenbei auch die explizite Darstellung der Nullstellen aus den Parametern, die sogenannten Lösungsformeln. Im folgenden am Zahlenbeispiel und daneben allgemein ausgeführt.

Quadratische Ergänzung für Berechnung Scheitelpunktform am Beispiel: $$ 2x^2 + 8x + 6 = 2( x^2 + 4 x ) + 6 $$ $$= 2(x^2 + 4x + 4 - 4) + 6 $$ $$ = 2(x^2 + 4x + 4) - 8 + 6 \quad \mbox{ (Binom in Klammer!) } $$ $$ = 2(x+2)^2 -8 + 6 =2(x+2)^2 -2 $$ Scheitelpunkt: Derjenige $x$ Wert, für den die Klammer zu Null wird, weil damit das Quadrat minimal wird! Die Klammer ist ein Quadrat also immer $ \ge 0$: $$ x_s = -2, y_s = f(x_s) = -2 $$ Daraus kann man dann weiter auch die Nullstellen berechnen wenn für die Diskriminante gilt: $$D= b^2 - 4ac \ge 0 $$.

Dies ist in unserem Beispiel der Fall: $$ 2x^2 + 8x + 6 = 2(x+2)^2 -2 = 0 $$ $$ \Leftrightarrow (x+2)^2 = 1 $$ $$ \Leftrightarrow (x+2) = \pm 1 $$ $$ \Leftrightarrow x_1= -3, x_2 = -1 $$
Beispiel mit doppelter Nullstelle, quadratische Ergänzung wie oben durchgeführt: $$ 2x^2 + 8x + 8 = 2(x+2)^2 -8 +8 = 2(x+2)^2 = 0 $$ $$ \Leftrightarrow (x+2) = 0, $$ also $x_{1,2} =2$.

Beispiel ohne reelle Nullstellen: $$ 2x^2 + 8x + 9 = 2(x+2)^2 -8 +9 = 2(x+2)^2 = -1 $$ Auf dieser Stufe ist keine weitere Rechnung möglich weil die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist.

Wenn also schon die Scheitelpunktform vorliegt, kann man ohne Benutzung der Lösungsformel auch gleich die Nullstellen ermitteln, vorausgesetzt die Diskriminanten ist nicht negativ. Ausmultiplizieren der Scheitelpunktform und anschließendes Einsetzen in die Lösungsformel ist überflüssige und fehlerträchtige Rechnerei!
Quadratische Ergänzung für Scheitelpunktform allgemein:
Zunächst Ausklammern von $a$, dann Erzeugung eines binomischen Terms durch quadratische Ergänzung. $$ f(x) = ax^2 + bx +c = a( x^2 + { b\over a } x ) + c $$ $$ = a \left( x^2 + { b\over a } x + \left( { b \over 2a} \right)^2 - \left( { b \over 2a} \right)^2 \right) + c $$ $$ = a \left( x^2 + { b\over a } x + \left( { b \over 2a} \right)^2 \right) - a \cdot \left( { b \over 2a} \right)^2 + c $$ $$ = a \left( { x + { b \over 2a} } \right)^2 + c - { b^2 \over 4a } $$ Der nichtnegative quadratische Term $$ a \left( { x + { b \over 2a} } \right)^2 $$ -und damit auch $f$, weil der restliche Term konstant ist, nimmt sein Minimum Null, falls $a \gt 0$ (bzw. sein Maximum, falls $a \lt 0$ ) genau am Scheitelpunkt an für $$ x_s = - { b \over 2a } $$ weil damit der Term zu Null wird.
Der zugehörige Funktionswert am Scheitelpunkt ist damit $$ y_s = f(x_s) = c - { b^2 \over 4a } $$
Nullstellenberechnung:
Um die Nullstellen zu berechnen lösen wir auf: $$ 0= f(x)= a \left( { x + { b \over 2a} } \right)^2 + c - { b^2 \over 4a } $$ $$ \Rightarrow 4a^2 \left( { x + { b \over 2a} } \right)^2 = b^2 - 4ac =D $$ Falls die Diskriminante $D$ die Ungleichung $$ D = b^2 - 4ac \ge 0 $$ erfüllt, erhalten wir daraus weiter durch Wurzelziehen und Umformen der Gleichung die explizite Darstellung der Nullstellen von $f$ nach den Parametern: $$ D \ge 0 \Rightarrow x_{1,2} = { { - b \pm \sqrt{ b^2 - 4ac } } \over 2a } $$ Für $D=0$ gibt es eine doppelte Nullstelle $$ D =0 \Rightarrow x_{1,2} = - {b \over 2a } . $$ In diesem Fall sind Nullstelle und Scheitelpunkt identisch.
Falls $ D \gt 0 $ gibt es zwei verschiedene Nullstellen $ x_1 \lt x_2 $ (siehe oben) und die Scheitelpunktsabszisse liegt dann genau in der Mitte zwischen diesen Nullstellen: $$ x_s = { {x_1 + x_2 } \over 2 } $$ Für $D \lt 0$ gibt es keine reellen Nullstellen da Quadratwurzel nicht berechenbar.

Das Bild zeigt die drei grundsätzlichen Möglichkeiten:
$D \gt 0 $ : Zwei reelle Nullstellen ,
$ D = 0 $: Eine doppelte reelle Nullstelle, zugleich Scheitelpunkt,
$ D \lt 0 $ : und keine reelle Nullstelle.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn der Koeffizient von $x^2$ positiv ist.

Wurzelsatz von Vieta
Ganzzahlige Lösungen quadratischer Gleichungen kann man oft leicht durch Lösung eines kleinen Gleichungssystems ermitteln. Zum Beispiel sind die Lösungen von $$ x^2 -19x + 34 = 0 $$ genau $ x=17 $ und $ x=2$ denn $17+2 =19 $ und $17\cdot 2 = 34 .$ Überraschend? Nur auf den ersten Blick. Nehmen wir die Nullstellenform und rechnen nach. $$ (x-17)(x-2) = x^2 -(17+2) x + 17\cdot 2 = x^2 -19x + 34 $$ Hinter diesem kleinen Trick steht ein einfacher Koeffizientenvergleich. $$ (x-x_1)(x-x_2) = x^2 - (x_1+x_2) x + x_1 x_2 = x^2 + b x + c \Rightarrow b = -(x_1+x_2), \ c = x_1\cdot x_2 $$ Wenn die Nullstellen Primzahlen sind, geht das Verfahren besonders schnell und einfach.

Versteckte quadratische Gleichungen
Viele Gleichungen, insbesondere solche, die Quadratwurzeln enthalten, kann man mit mehr oder weniger geschickten algebraischen Manipulationen auf quadratische Gleichungen in einer der oben dargestellten Formen zurückführen und dann wie gewohnt lösen. Einige Beispiele:

1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $$ { 1 \over \sqrt{x} +1 } + { 1 \over \sqrt{x} - 1 } = { x \over x -1 } $$ Man darf sich hier - und auch sonst - nicht von der Wurzel ins Bockshorn jagen lassen. Wenn man wenig Übung mit solchen Gleichungen hat, führt man für die Wurzel einfach eine neue Variable, sagen wir $ u = \sqrt{x} \ge 0, x = u^2 $ ein (Substitution) und schreibt die Gleichung damit um. $$ { 1 \over u +1 } + { 1 \over u - 1 } = { u^2 \over u^2 -1 } $$ Die Terme $u+1$, $ u-1$ und $u^2 -1 = (u+1)(u-1) $ weisen einem nun die Richtung. Nämlich die 3. Binomische Formel per Brucherweiterung zwecks Hauptnennerbildung ins Spiel zu bringen. Ausführlich geschrieben und vorausgesetzt, dass $ u \ne \pm 1 $ ist, was aber schon durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen ist, erhalten wir: $$ { u-1 \over (u +1)(u-1) } + { u +1 \over (u - 1)(u+1) } = { u^2 \over (u+1)(u-1) } $$ Da die drei Brüche alle denselben Nenner haben, können wir sie zusammenfassen zur Gleichung $$ { u-1 + u+1 - u^2 \over u^2 -1 } =0 $$ Da der Nenner für die Nullstellenberechnung keine Rolle spielt , also $$ 2u - u^2 = u \cdot (2-u) =0 $$ Ein Produkt ist bekanntlich dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Also haben wir die Lösungen $ u_1 =0$ und $u_2 = 2 $ und mit $ x= u^2 $ dann $ x_1 =0 $ und $x_2 =4 $. Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung für $x$ verfizieren wir dann, dass beide Zahlen tatsächlich die Gleichung lösen.

2. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $$ x - 5 \sqrt{x} +4 = 0 $$ Auch hier Substitutionsversuch $ u = \sqrt{x} \ge 0 $. Die Vorzeichenbedingung ist wichtig, die Wurzel ist nie negativ. Sollten wir eine negative Lösung $u$ errechnen, hätte die Gleichung in $x$ keine reelle Lösung. Hier ergibt sich nach Einsetzen und Anwendung der Lösungsformel: $$ u^2 - 5 u + 4 = 0 \Rightarrow u_1 = 1, u_2 = 4 \Rightarrow x_1 = 1 , x_2 = 2 $$ Bei der ähnlich aussehenden Gleichung $$ x + 5 \sqrt{x} +4 = 0 $$ hätten wir zwar auch eine Substitution $u= u = \sqrt{x} $ durchführen können, die in der neuen Variablen $u$ geschriebene Gleichung $ u^2 - 5 u + 4 = 0 $ hat dann jedoch die negativen Lösungen $ u_1 = -1, u_2 = -4.$ Das bedeutet: Die Gleichung in $x$ hat in den reellen Zahlen keine Lösung.

3. Exponentialgleichung Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $$ 2^{2x } - 5 \cdot 2^x + 4 =0 $$ Das sieht auf den ersten Blick gar nicht nach dem gewohnten Gleichungstyp aus. Als erster Term steht jedoch ein Quadrat des zweiten $ 2^{2x} = (2^x)^2 $. Damit erhält man mit der Substitution $u=2^x $ die Gleichung $$ u^2 - 5u + 4 =0 $$ Diese besitzt nach 2. die Lösungen $ u_1 = 1, u_2 = 4 $. Aus $ u_1 = 1 = 2^{x_1} $ ergibt sich $x_1 =0$, analog aus $2^{x_1}= 4 $ dann $x_2=2$.

4. Auch die biquadratische Gleichung $$ x^4 - 5x^2 + 4 =0 $$ löst man am besten mit einer Substitution $u=x^2 $. Dann wird daraus $$ u^2 -5u + 4 =0 $$ Lösungen wie oben berechnet $u_1 = 1, u_2 = 4 $ und damit $$ x_1 = - \sqrt{u_1} = -1 , \ x_2 = \sqrt{u_1} = 1, \ x_3= -\sqrt{u_2} = -2 , \ x_4 = \sqrt{u_2} = 2 $$ Faktorisierung nach Nullstellen $$ x^4 - 5x^2 + 4 =0 = (x+1)(x-1)(x+2)(x-2) $$

Quadratische Modellfunktionen in der Physik: Konstante Beschleunigung
Wir stellen uns einen Körper im freien Fall in einem konstanten Kraftfeld oder ein Fahrzeug vor, das mit konstanter Kraft beschleunigt wird und vernachlässigen dabei die Reibungskräfte. Zu den Modellen mit Reibungskräften siehe Ingenieurmathematik.
Betrachtet man die Weg-Zeit Abhängigkeit eines Körper, der mit konstanter Kraft beschleunigt wird, so erhält man einen quadratischen Zusammenhang. Die Bewegung soll längs einer Geraden stattfinden.

$x_0$ ist die bereits zurückgelegte Weg zum Zeitpunkt Null- dem Anfangszeitpunkt der Betrachtung.
$v_0$ ist die Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt Null.
$a$ sei die konstante Beschleunigung
$s(t)$ bezeichne den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt $t \ge 0$.
Weg-Zeit Gesetz quadratisch: $$ s(t) = x_0 + v_0 t + {1 \over 2 } a t^2 $$ Geschwindigkeits-Zeit Gesetz linear. $$ v(t) = v_0 + a t $$ Die Beschleunigung durch das Schwerkraftfeld der Erde bei einem Fall senkrecht zur Erdoberfläche wird in Erdnähe näherungsweise durch eine Konstante beschrieben, die sogenannte Erdbeschleunigung $ g = 9,8 m/s^2. $ Ein genaueres Modell ist die quadratische Abnahme der Erdanziehungskraft mit dem Abstand zur Erdoberfläche bzw - Mittelpunkt. Dies ist für den Fall aus größeren Höhen anzuwenden.
Man kann mit diesen einfachen Formeln schon vieles aus der Alltagsphysik näherungsweise berechnen.
Beispiele:
Jemand springt vom Sprungturm (Höhe 3m, 5m, 10m). Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf der Wasseroberfläche und wie lange dauert der Flug?
Ein Sportwagen hat einen Bremsweg von etwa 30m aus 100km/h. Wie lange ist der Bremsweg bei 150km/h und 200km/h? Welche Beschleunigung bezogen auf die Erbeschleunigung tritt dabei auf?
Eine Familienvan hat auf trockener Straße eine Bremsweg von ca 40m aus einer Geschwindigkeit von 100km/h. Bremsweg bei 50km/h und bei 150km/h Geschwindigkeit?

Der aktuelle Beschleunigungsrekord (Stichtag 30.7.2015) für Elektrofahrzeuge wird von einem Studententeam der Uni Stuttgart gehalten. Der nur 160kg schwere Wagen (plus Fahrer) beschleunigt dabei in knapp 1,78 s von 0 auf 100km/h. Welche Strecke legt er dabei zurück und welche Kräfte treten auf den Körper auf (Beschleunigung bezogen auf g)?
Bericht hier