Reihen

(inzwischen Stoff der Hochschulen, Stand 10.03.2017 )

Allgemeines

Summiert man eine Zahlenfolge $ a_0, a_1, a_2 ... $ bis zu einem Index n auf, so erhält man eine Summenfolge. Deren Grenzwert - sofern er existiert - nennen wir Reihe. $$ S(n) = a_0 + a_1 + a_2 + .... a_n = \sum_{k=0}^n a_k \qquad S = \lim_{ n \to \infty } S(n) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k $$ Das Zeichen $\sum$ ist das große Sigma (entpricht lat. S) aus dem griechischen Alphabet und soll uns damit an die Summenbildung erinnern. Je nachdem wie man die Zahlenfolge nummeriert, kann man auch mit einem anderen Index als $k=0$ starten. Beim Umrechnen und Anpassen der Indizes muss man immer etwas aufpassen, damit die Summenfolgen auch gleich bleiben. In Zweifelsfällen schreibt man sie besser aus zwecks Kontrolle. Beispiel (hier eine spezielle geometrische Reihe) : $$ 1 + { 2}^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3} +..... + 2^{-n} = \sum_{k=0}^n 2^{-k } = \sum_{k=1}^{n+1} 2^{-k-1 } = \sum_{k=2}^{n+2} 2^{-k-2 } $$ oder allgemein $$ a_0 + a_1 + a_2 + ....... a_n = \sum_{k=0}^n a_k = \sum_{k=1}^{n+1} a_{k-1 } = \sum_{k=2}^{n+2} a_{k-2 } = \sum_{k=m}^{n+m} a_{k-m } = \sum_{k=-m}^{n-m} a_{k+m } = \sum_{k=-1}^{n-1} a_{k+1 } $$ Es steht jedesmal dieselbe Summe da, lediglich die Indizes wurden anders geschrieben! Etwas verwirrend am Anfang, aber das legt sich bald. :-)
Reihen kann man auch zerlegen in Summanden , etwa $$ \sum_{k=0}^{\infty} a_k = \sum_{k=0}^{m } a_k + \sum_{k=m+1 }^{\infty} a_k $$ allerdings ist die Zerlegung in Teilreihen aus Summanden mit geraden $a_{2k } $ und solche mit ungeradem Index $a_{2k+1 } $ nicht immer bedenkenlos möglich - hier muss man aufpassen, dass die Konvergenz erhalten bleibt. (s.u.)
Wie schon bei Zahlenfolgen gesehen, spielen die ersten endlich vielen Summanden, so groß sie auch sein mögen, für die Konvergenz der Reihe keine Rolle. Definiert man etwa die Folge $$ a_k = 10^{100k} , k=0, ...., 10^{1000} , \quad a_k = 10^{-k} , k > 10^{1000} $$ So existiert der Grenzwert $$ \sum_{k=0}^{\infty } a_k $$ Er zwar eines sehr große Zahl aber endlich, denn es sind nur endlich viele große Zahlen am Anfang zu summieren. Die Restreihe ab $k= 10^{1000} +1 $ besteht jedoch aus schnell abfallenden Summanden -hier sind es gerade Nachkommastellen im 10er System.

Konvergenzkriterien für Reihen.
Definition absolute Konvergenz. Eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} a_k $ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Beträge $\sum_{k=0}^{\infty} |a_k| $ konvergiert.
Eine Reihe, die zwar konvergiert, aber nicht absolut, nennt man auch bedingt konvergent.
Ein Beispiel dafür ist die Reihe. $$ \sum_{k=0}^{\infty } (-1)^k { 1\over k } $$ Häufig vergleicht man Reihen durch eine Abschätzung gegen Reihen, deren Konvergenz man bereits kennt, zum Beispiel mit der geometrischen Reihe (s.u.). Der Beweis des Wurzel- und Quotientenkriterium beruht auf dem Vergleich mit dieser Reihe.

Dazu benutzt man das Majorantenkriterium
Wir vereinbaren folgende Sprechweise : "Für fast alle k" soll bedeuten: Für alle k bis auf endlich viele Indizes, bzw äquivalent gesagt, für alle k ab einem gewissen festen Index $k_0$ an.
Satz: Majorantenkriterium $$ \sum_{k=0}^{\infty} |a_k| \mbox{ konvergent und } |b_k| \le |a_k| \mbox{ für fast alle k } \Longrightarrow \sum_{k=0}^{\infty} b_k \quad \mbox{ ist absolut konvergent } $$ Der Beweis erfolgt sofort über die Konvergenz monoton wachsender, beschränkter Folgen.


Leibnizkriterium für alternierende Reihen
Eine Reihe der Form $$ \sum_{k=0}^{\infty} { (-1)^k b_k } $$ konvergiert, wenn $b_k $ eine monoton fallende Nullfolge (Grenzwert Null) ist. Beispiel: $b_k = { 1\over k } $

Divergenzkriterium Die Reihe $$ \sum_{k=0}^{\infty} { a_k } $$ divergiert, wenn die Folge $a_k$ nicht den Grenzwert Null hat (keine Nullfolge ist).
Beispiele : $a_k = (-1)^k $ : Die Folge der Teilsummen S(n) hat zwei Häufungspunkte, 1 und 0. Keine Konvergenz!
$a_k = 1 $ , S(n) = n+1 wächst unbeschränkt, keine Konvergenz.
Dieses Kriterium wird oft als "notwendige Bedingung" formuliert: Wenn die Reihe konvergiert, dann ist $a_k$ eine Nullfolge. Die Nullfolgeneigenschaft ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für Reihenkonvergenz. Für Konvergenz ist es nicht hinreichend (ausreichend), dass $a_k$ Nullfolge ist. Beispiel $ a_k = { 1\over k } $ ist Nullfolge, die Reihe ist aber divergent.

Zwei Kriterien für absolute Konvergenz.
Die Reihe $ \sum_{k=0}^{\infty} |a_k| $ konvergiert, wenn eines der folgenden Kriterien erfüllt ist:

Quotientenkriterium: Es gibt eine Zahl $ 0 \lt q \lt 1 $ mit $$ | { a_{k+1} \over a_k } | \le q \lt 1 $$ für fast alle $k\in I\!\!N_0.$ (Also bis auf endlich viele).
Divergenz: $ | { a_{k+1} \over a_k } | \ge 1 $ für fast alle $k\in I\!\!N_0.$

Oder: Wurzelkriterium: Es gibt eine Zahl $ 0 \lt q \lt 1 $ mit $$ |a_k|^{1/k} \le q \lt 1 $$ für fast alle $k\in I\!\!N_0.$ (Also bis auf endlich viele).
Divergenz: $ |a_k|^{1/k} \ge 1 $ für fast alle $k\in I\!\!N_0.$

Beide Kriterien beweist man mit dem Majorantenkriterium und einem Vergleich mit der geometrischen Reihe (s.u.) (vgl. z.B. Burg/Haf/Wille , Mathematik für Ingenieure I, B.G. Teubner ).

Bemerkung: In der Literatur findet man auch häufig die folgende (gleichwertige) Formulierung:
Die Reihe $ \sum_{k=0}^{\infty} |a_k| $ konvergiert, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist: $$ q= \lim\sup_{k \to \infty } |{a_{k+1} \over a_k } | \lt 1 \quad \mbox{(Quotientenkriterium) } $$ bzw $$ q= \lim\sup_{k \to \infty } |a_k|^{1/k} \lt 1 \quad \mbox{(Wurzelkriterium) } $$ Divergenz liegt jeweils bei $ q \gt 1 $ vor.
Was bedeutet hier limsup?
Ein Supremum ($\sup$ ) einer Menge von Zahlen ist die kleinste obere Schranke. Für eine Zahlenfolge $(c_k)_{k\in I\!\!N } , c_k \ge 0 $ definiert man die Folge der kleinsten oberen Schranken $$ s_k = \sup \{ c_k; c_{k+1} ; ..... \} . $$ Wenn die Folge $c_k$ nicht unbeschränkt wächst, dann hat diese Restmenge ab einem gewissen Index eine endliche obere Schranke und damit dann auch immer eine kleinste. Da die Menge mit wachsendem k schrumpft, bildet die Folge der kleinsten oberen Schranken $s_k$ eine monoton fallende Folge. Nach unten ist sie beschänkt, da alle $c_k$ nichtnegativ sind. Also konvergiert sie: $$ q= \lim\sup_{k \to \infty } c_k = \lim_{k\to \infty } s_k = \lim_{k\to \infty } \sup \{ c_k; c_{k+} ; ..... \} $$ Dies wendet man an auf die Quotientenfolge $ c_k = |a_{k+1} / a_k | \ge 0 $ (Quotientenkriterium) bzw. die Wurzelfolge $c_k = |a_k|^{1/k} \ge 0 $ an. Ist der Grenzwert kleiner 1 , dann auch ab einem gewissen Index an alle Folgenglieder $s_k$. Und da diese immer obere Schranken der Quotienten- bzw Wurzelfolgen sind, müssen diese auch für fast alle $k$ kleiner 1 sein. Somit sind die Formulierungen gleichwertig.

Einfachere Kriterien für absolute Konvergenz einer Reihe.
Die o.g. allgemeinen Kriterien muss man nur benutzen, wenn die Wurzel- bzw Quotientenfolgen selber nicht konvergieren, sondern z.B. mehrere Häufungspunkte besitzen. Falls diese Folgen nämlich konvergieren, reduzieren die Kriterien sich auf folgende einfachere:

Falls die Folge $ |a_{k+1} |\over | a_k | $ konvergiert, dann ist die Reihe $ \sum_{k=0}^{\infty} |a_k| $ konvergent wenn $$ q= \lim_{k \to \infty } |{a_{k+1} \over a_k } | \lt 1 \quad \mbox{(vereinfachtes Quotientenkriterium) } $$ Falls die Folge $ |a_k|^{1/k}$ konvergiert, dann ist die Reihe $ \sum_{k=0}^{\infty} |a_k| $ konvergent wenn $$ q= \lim_{k \to \infty } |a_k|^{1/k} \lt 1 \quad \mbox{(vereinfachtes Wurzelkriterium ) } $$ Divergenz jeweils wenn $ q \gt 1 . $

Beispiele:
Zunächst ein ernüchterndes Beispiel: Für $q=1$ machen die Kriterien keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz, sie greifen nicht. Man muss dann andere Kriterien benutzen. Beispiel: $$ \sum_{k=1}^{\infty} { 1 \over k } \ \mbox{ ist divergent aber (z.B.) } \sum_{k=1}^{\infty} { 1 \over k^2 } \mbox{ konvergiert } $$ (Nachweis später, Absolute Konvergenz ist hier gleichbedeutend mit Konvergenz, da alle Summanden positiv sind. ) Aber: Keine dieser beiden Konvergenzaussagen kann man mit dem Wurzel- oder dem Quotientenkriterium nachweisen, denn leider $$ \lim_{ k \to \infty } { { 1 \over k+1 } \over { 1 \over k } } = \lim_{ k \to \infty } { k \over k+1 }=1 \qquad \lim_{ k \to \infty } { { 1 \over (k+1)^2 } \over { 1 \over k^2 } } =1 $$ Für Reihen dieses Typs benötigt man das Integralkriterium.
Hier hat man mehr Erfolg: $$ \sum_{k=1}^{\infty} { 1 \over k! } \mbox{ konvergiert absolut, denn } \quad \lim_{ k \to \infty } { a_{k+1} \over a_k } = \lim_{ k \to \infty } { 1 \over k+1 } = 0 \lt 1 $$ $$ \sum_{k=0}^{\infty} { (-1)^k \over 2^k } \mbox{ konvergiert absolut, denn } \quad \lim_{ k \to \infty } { a_{k+1} \over a_k } = \lim_{ k \to \infty } { 2^k \over 2^{k+1} } = { 1\over 2 } \lt 1 $$ Auch das Wurzelkriterium würde hier zum Erfolg führen: $$ \lim_{ k \to \infty } |a_k|^{1/k} = { 1 \over 2 } \lt 1 \mbox{ also absolute Konvergenz } $$ $$ \sum_{k=0}^{\infty} { 2^k } \mbox{ divergiert, denn } \quad \lim_{ k \to \infty } { a_{k+1} \over a_k } = \lim_{ k \to \infty } { 2^{k+1} \over 2^{k} } = { 2 } \gt 1 $$ $$ \sum_{k=0}^{\infty} { k^{10} \over 2^k } \mbox{ konvergiert absolut, denn } \quad \lim_{ k \to \infty } { a_{k+1} \over a_k } = \lim_{ k \to \infty } { k^{10} 2^k \over (k+1)^{10} 2^{k+1} } = { 1\over 2 } \lim_{ k \to \infty } \left( { k \over (k+1) } \right)^{10} = { 1\over 2 } \lt 1 $$

Integralkriterium
$f$ sei eine stetige, monoton fallende und positive Funktion auf dem Intervall $[m;\infty [$. Dann gilt die Äquivalenz $$ \sum_{ k= m }^{\infty } f(k) \lt \infty \quad \Leftrightarrow \quad \lim\limits_{b \to \infty } \int_m^b f(x) dx \lt \infty $$ Man kann die Konvergenz von Reihen also auf die Existenz eines passenden uneigentlichen Integrals zurückführen. Das ist anschaulich klar, die Reihe entspricht einer Partialsumme von Rechtecken, mit der man den Graphen der Funktion $f$ von oben und unten einschließen kann (Definition eines Integrals!).
Anwendung auf Reihen des Typs $ \sum_{ k=1 }^{\infty } k^{-p} , p\gt 0$ $$p=1: \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n { 1\over k } \mbox{existiert nicht, denn } \int_1^b { 1\over x } dx = \ln(b) - \ln(1) \to \infty, \quad ( b \to \infty ) $$ $$ p \gt 1: \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^n { k^{-p} } \mbox{existiert , denn } \int_1^b { x^{-p} } dx = { 1 \over -p+1 } ( b^{-p+1} - 1) \to { 1 \over p-1 } , \quad ( b \to \infty ) $$ Für $ 0 \lt p \lt 1 $ analog: Keine Konvergenz der Reihe da keine Konvergenz des uneigentlichen Integrals.

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe wird oft als Vergleichsreihe für andere Reihen benutzt (Konvergenzkriterien für Reihen) und ist auch in der Finanzmathematik von Bedeutung.



Illustration zur speziellen geometrischen Reihe $$ {1 \over 2 } + {1 \over 4 } + {1 \over 8 } + ..... = ?? $$

Die Geometrische Reihe kennen Sie übrigens auch schon aus der Schule für periodische Zahlen im Zehnersystem: $$ 0, \bar{3} = 0,3333333333333...... = 3 ( 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-3} + 10^{-4} + ............. ) $$

Beispiel: Geometrische Reihe/Summe in der Finanzmathematik. Ratensparen und Ratenkredite

"Die Renten sind sicher " (Norbert Blüm, ehemals Minister für Arbeit und Soziales ).
Ein Sparvertrag (priv. Rentenversicherung, Kapitallebensversicherung) auf Raten wird abgeschlossen zu folgenden Bedingungen:
Zu Jahresbeginn wird immer eine feste Rate R auf ein Konto eingezahlt, mit einem fest vereinbarten Zinssatz p verzinst, der am Ende des Jahres dem Konto gutgeschrieben und im nächsten Jahr mitverzinst wird. Damit ensteht die nebenstehende Zahlungsreihe. $K(n)$ bezeichnet das angesparte Kapital inklusive Zinsen nach n Jahren - Jahresende. Also ohne die nächste Rate am 1.1. des Folgejahres.

Am 1. 1. wird die erste Rate R eingezahlt und dann verzinst.
Nach 1 Jahr: $K(1) = R+ p R = R(1+ p) $ (1. Rate plus die Zinsen für 1 Jahr)
Nach 2 Jahren: $ K(2) = (R(1+p) + R) (1+p) = R (1+p)^2 + R(1+p) $ (1. Rate mit Zinsen für 2 Jahre, 2. Rate mit Zins für 1 Jahr)
......
Nach n Jahren : $ K(n) = R( (1+p)^n + (1+p)^{n-1} +..... (1+p) ) = R\sum_{k=1}^n (1+p)^k $
Wir sehen also: nach n Jahren ist das Kapital gerade die Rate mal eine geometrische Summe.
Kreditvertrag
Ein Kreditvertrag mit Rückzahlung in Raten (zum Beispiel eine Hypothek) hat eine ähnliche mathematische Beschreibung, der Verlauf ist nur umgekehrt. Es wird eine Kreditsumme $K(0)$, ein Schuldzins $p$, ein Tilgungssatz $q$ (beide in Prozent) vereinbart und daraus eine jährliche Rückzahlrate $R= (p+q)K(0) $ festgelegt. Der Kreditgeber zahlt eine Summe $ K(0) $ zu einem Zeitpunkt (1.1. Jahr X) aus , ein fester Zinssatz p wird vereinbart, und Sie beginnen (zum Beispiel ) genau 1 Jahr später mit der 1. Rate R den Kredit zurückzuzahlen. Die (fest vereinbarte ) Rate enthält jeweils Zins und Tilgung in jährlich sich ändernden Anteilen, denn die Schuld und damit die Zinsanteile in der Rate sinken ja mit jeder Rate. Nur für die erste Rate ist $ R = (p+q)K(0). $ $K(n) $ bezeichne die Restschuld nach n Jahren. Anfallenden Gebühren usw. sind hier nicht berücksichtigt. Zur Vereinfachung wurde alles jährlich gerechnet, die Umrechnung auf Monatsraten stellt kein Problem dar.
1.1.X. Kreditgeber zahlt $K(0)$ aus - Hausbau kann beginnen, die Zinsuhr läuft.
Nach 1 Jahr (1.1.X+1) : $K(1) = K(0) (1+p) - R $ ( Kreditsumme plus Zinsen für 1 Jahr minus 1. Rate)
Nach 2 Jahren (1.1. X+2) :$ K(2) = K(1) (1+p) - R = (K(0) (1+p) - R)(1+p) - R $
$ \quad = K(0) (1+p)(1+p) - R (1+p) - R $
(Restschuld nach 1. Jahr plus Zinsen fürs 2. Jahr minus Rate )
......
Nach n Jahren : $ K(n) = K(0)(1+p)^n - R \sum_{k=0}^{n-1} (1+p)^k $


Setzen wir im ersten Beispiel (Ratensparen) noch $x=1+p$ so haben wir die Berechnung des Kapitals nach n Jahren auf die Berechnung einer (sogenannte) geometrischen Summe $$ \sum_{k=1}^n x^k $$ zurückgeführt. Addiert man auf diese Summe noch $1 = x^0 $ so kann man mit dem Index 0 starten. $$ S(n) = 1 + \sum_{k=1}^n x^k = x^0 + \sum_{k=1}^n x^k = \sum_{k=0}^n x^k $$ Für diese Summe kann man ein direktes Bildungsgesetz ohne Summenzeichen mit einer einfachen Überlegung angeben. Wir bilden $$ S(n) - xS(n) = (1+x+x^2 + .....x^n) - x( 1+x+x^2 + .....x^n) = \begin{array}{l} (1+x+x^2 + .....x^n) \\ - (x+x^2 + ...+ x^n + x^{n+1} ) = 1-x^{n+1} \end{array} $$ denn die Terme $x, x^2 .... , x^n $ heben sich beim Subtrahieren gerade auf. Also für $ x \ne 1$: $$ (1-x) S(n) = S(n) - xS(n) = 1- x^{n+1} \Longrightarrow S(n) = { 1- x^{n+1} \over 1-x } $$ Wir könnten auf diese Weise also das nach n Jahren angesparte Kapital zuzüglich der Zinsen ohne Summenbildung direkt ausrechnen mit dieser Formel: $$ K(n) = R\cdot (S(n)-1) = R \cdot ( { 1- x^{n+1} \over 1-x } -1 ) , \quad x = 1+p $$ Für einen positiven Zinssatz $p \gt 0 $ ist offenbar $ x=1+p \gt 1 $ und wir können wegen des Terms $x^{n+1}$ für $ S(n) $ keinen Grenzwert $ n \to \infty $ bilden.

Anders sieht es für einen negativen Zinssatz aus. Dieses Szenario entsteht, wenn man nicht nur den mit der Bank vereinbarten Bruttozins betrachtet, sondern einen Realzins $p$ einsetzt - grob den Bruttozins minus Inflationsrate. Ist dieser Realzins negativ (wie derzeit, 2015), so ist $0 \lt x \lt 1 $ und der Grenzwert existiert wegen $ n \to \infty \Rightarrow x^{n+1} \to 0.$ Wir nennen ihn Geometrische Reihe : $$ \sum_{k =0}^{\infty } x^k = \lim_{n \to \infty } S(n) = { 1 \over 1- x} \quad \mbox{ für } |x| \lt 1 $$ Im Finanzmodell bedeutet das: Man könnte beliebig lange ansparen und käme doch - mit dem negativen Realzins gerechnet - über einen bestimmten Grenzbetrag nie hinaus, obwohl man jedes Jahr brav eine feste Rate einzahlt! Anschaulich ist das auch klar: Ist das angesparte Kapital groß genug, so fressen die negativen Zinsen darauf immer mehr von der Jahresrate weg. (soviel zu "die Rente ist sicher". )

Zugleich haben wir eine Potenzreihenentwicklung der Funktion $ f(x)= 1/(1-x) $ für $x$ im Intervall $ ]-1;1[ $ um die Stelle $x_0=0$ erhalten.

Wir sahen: Die Reihe konvergiert für $|x| \lt 1 $ und stellt auch nur dort die auf dieses Intervall eingeschränkte Funktion $$ f(x) = {1 \over (1-x) } = \sum_{k =0}^{\infty } x^k, \quad x\in ]-1;1[ $$ dar , nicht jedochfür Werte $ |x| \gt 1 $ . Obwohl man den Definitionsbereich der Funktion selber auch vergrößern könnte etwa zu einer Funktion $ 1/(1-x) , x \ne 1 .$ Dass die Reihendarstellung nur im Intervall $]-1;1[ $ gültig ist, liegt an der Polstelle der Funktion. Für eine Reihendarstellung von $f$ für $|x|> \gt 1 $ müsste man dann eine andere Potenzreihe (andere Entwicklungsstelle ) wählen und ein Taylorpolynom berechnen (vgl. Differentialrechnung).
Aus der Potenzreihenentwicklung für $ 1/(1-x) $ erhält man durch elementare Operationen wie einsetzen( d.h. verketten) , verschieben und multiplizieren sofort Reihenentwicklungen für weitere ähnliche gebrochen rationale Funktionen. $$ {1 \over 1-x^2 }= \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} , \ |x| \lt 1 $$ $$ { x \over 1-x^2 } = x \sum_{k=0}^{\infty} x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k+1} , \ |x|\lt 1 $$ $$ { 1 \over 2-x } = { 1 \over 1-(x-1) } = \sum_{k=0}^{\infty} (x-1)^{k}, \quad |x-1| \lt 1 $$ usw.

Allgemeine Potenzreihe

Gegeben eine Zahlenfolge $a_0 , a_1 ... $ und eine Entwicklungstelle $x_0$. Wenn die folgende Reihe konvergiert (Grenzwert existiert) $$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k , \quad x \in ]x_0-r ; x_0 + r [ $$ ist dies eine Potenzreihe um die Entwicklungsstelle $x_0$ mit Konvergenzradius $r$.

Konvergenzradius Zur Berechnung des maximalen Konvergenzradius $r$ überträgt man die Kriterien für absolute Konvergenz von Zahlenreihen auf die Potenzreihe. Die Übertragung auf Potenzreihen erfolgt, in dem man setzt $c_k = a_k (x-x_0)^k $ und die Kriterien für Zahlenreihen nutzt.
Am Beispiel des Quotientenkriteriums für Zahlenreihen demonstriert als Beweisidee. Wir nehmen etwas vereinfachend an, dass die Quotientenfolge $a_{k} / a_{k+1} $ konvergiert mit einem Grenzwert $r$ $$ r = \lim_{k\to \infty} |{ a_{k} \over a_{k+1} } |$$ Folgende Bedingung sichert die absolute Konvergenz: Es gibt eine Zahl $ q \lt 1 $ sodass für fast alle k gilt: $$ |{c_{k+1} \over c_k } | = | { a_{k+1} (x-x_0)^{k+1} \over a_k (x-x_0)^k } | = |{a_{k+1} \over a_k }| |x-x_0| \le q \lt 1 $$ Grenzübergang $ k \to \infty $ und Einsetzen der Quotientenfolge Also muss für die Konvergenz der Potenzreihe die Bedingung $$ {1 \over r} |x-x_0| \le q \lt 1 \mbox{ umgeschrieben also } |x-x_0| \lt r $$ erfüllt sein . Die Zahl $r$ ist also gerade der Konvergenzradius. Den allgemeinen Fall erledigt man mit dem $\lim\sup $ ganz analog. Ebenso verfährt man mit dem Wurzelkriterium.
Sonderfall Man sieht an der Ungleichung oben auch: Wenn der Grenzwert $r$ nicht existiert, weil die Folge $ |{ a_{k} \over a_{k+1} } | $ unbeschränkt wächst, dann ist der Konvergenzradius unendlich groß, d.h, die Potenzreihe konvergiert auf ganz $ I\!\! R .$ Beispiele siehe unten.

Zusammenfassung: Konvergenzradius für Potenzreihen
Die Potenzreihen konvergieren also absolut im Intervall $ |x-x_0| \lt r $ wobei $$ r = \lim\sup_{k\to \infty} |{ a_{k} \over a_{k+1} } | \mbox{ oder } r = { 1 \over \lim\sup_{k\to \infty} |a_{k+1}|^{1/k} } $$ im Falle der Konvergenz der Quotienten bzw. Wurzelfolge $$ r = \lim_{k\to \infty} |{ a_{k} \over a_{k+1} } | \mbox{ oder } r = { 1 \over \lim_{k\to \infty} |a_{k+1}|^{1/k} } $$ Sonderfall Wenn der Grenzwert $r$ nicht existiert, weil die Folge $ |{ a_{k} \over a_{k+1} } | $ unbeschränkt wächst, dann ist der Konvergenzradius unendlich groß, d.h, die Potenzreihe konvergiert auf ganz $ I\!\! R .$ Beispiele siehe unten.
Man beachte, dass damit immer nur die (absolute) Konvergenz im Inneren des Konvergenzintervalls, also für $ |x-x_0| \lt r $ gesichert ist. Ob die Reihe auch an den Rändern konvergiert, muss man separat untersuchen - Rand $x= x_0 \pm r $ einsetzen und die Zahlenreihe auf Konvergenz testen.

Beispiele /Aufgaben, Gesucht: Konvergenzradius, Konvergenz an den Grenzen des Intervalls? $$ f_1(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-3)^k x^k \qquad f_2(x) = \sum_{k=0}^{\infty} 7^{-k} (x-2)^k \qquad f_3(x) \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \over k} x^k $$ $$ f_4(x) = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over k! } (x)^k $$ $f_4$ trifft genau den Sonderfall: $ a_{k} / a_{k+1} = k+1 $ wächst unbeschränkt, die Potenzreihe konvergiert für jede relle Zahl. Hier sei verraten: Es handelt sich um eine Potenzreihendarstellung von $e^x $

Rentenzusatzversicherung/Ratensparen Herr Schmidt schließt eine Zusatzrentenversicherung auf 20 Jahre ab, mit Auszahlung des Endbetrags als Einmalbetrag. Die Jahresrate wird mit 2000 Euro vereinbart und die Bank garantiert ihm über die Laufzeit eine feste Verzinsung von 2%. Wieviel erhält Herr Schmidt nach 20 Jahren dann ausbezahlt?
Der Vater von Herrn Schmidt hatte vor 30 Jahren auch eine solche Versicherung abgeschlossen, dieselbe Laufzeit von 20 Jahren, dieselbe Rate (damals natürlich in DM) jedoch mit einer Garantieverzinsung von 5%. Wieviel hatte der Vater ausbezahlt bekommen am Ende der Laufzeit?

Lösung mit der Summenformel für die geometrische Reihe und den oben im Kasten angegebenen Formeln des Ratensparvertrags:
n=20, Sohn p=2% = 0,02, R = 2000 , x=1+p , beachte dass hier ab der k=1 summiert wird, deswegen wird 1 für k=0 wieder abgezogen von der Summenformel!
$$ K(n) = R\sum_{k=1}^n (1+p)^k = R ( { 1- (1+p)^{n+1} \over 1 - (1+p) } -1 ) = R \cdot 24,78 = 49560 = K(20) $$ Oder anders gesagt: Der Sohn hat insgesamt 20 Jahresraten eingezahlt und kriegt am Ende nur 24,78 Jahresraten wieder raus, d.h. er hat durch Zinsen nur 4,78 Jahresraten in 20 Jahren hinzugewonnen. Dieselbe Rechnung für den Vater mit Zins p=0,05 und n=20, R=2000 durchgeführt: $$ K(20) = R \cdot 34,72 = 69440 $$ Der Vater kriegt nach Ende der Laufzeit durch den höheren Zins und den Zinseszinseffekt also knapp 10 Jahresraten mehr raus als der Sohn.


Ratenkredit
Familie Kaiser schließt einen Kreditvertrag (z.B. Hypothek , Nebenkosten/Gebühren werden nicht betrachtet) ab zu folgenden Konditionen:
Kreditsumme K(0) = 100000 Euro, Zinssatz p = 3% =0,03, Anfangstilgung 2% = 0,02. Daraus ergibt sich für die Abzahlung an die Bank eine feste Jahresrate von 5% (= 2% + 3%) von 100000 Euro also $R=$ 5000 Euro.
Der Anteil der in der konstanten Rate enthaltenen Zinsen und Tilgung verändert sich natürlich von Jahr zu Jahr weil der zu verzinsende Kreditbetrag durch die Tilgung von Jahr zu Jahr sinkt. Mit Tabellenkalkulation kann man das genauer auch nachrechnen.
Als Laufzeit des Kredites werden $n=$20 Jahre vereinbart, so lange garantiert die Bank den festen Schuldzins von 3%. Danach kann man eine Anschlussfinanzierung der Restschuld machen - zu den dann gültigen Zinsen, oder auf einen Schlag die Restschuld ablösen, wenn man genug Geld hat. Deswegen lautet die entscheidende Frage:
Wie hoch ist die Restschuld K(20) nach 20 Jahren?.

Lösung nach der oben hergeleiteten Formel und der Summenformel für die geometrische Reihe ($x =1 +p = 1,03$ , $ n=20$ ) $$ K(n) = K(0)(1+p)^n - R \sum_{k=0}^{n-1} (1+p)^k = K(0) (1+p)^n - R { 1- (1+p)^{n} \over 1 -(1+p) } $$ Zahlen einsetzen: $$ K(20) = 100000\cdot (1,03)^{20} - 134351,8 = 46259,32 $$ Nach 20 Jahren Tilgung hat sich die Schuld also in etwa halbiert bei den angenommenen Konditionen.
Hinweis: Die Formeln der Finanzberater unterscheiden sich teilweise etwas je nach Tilgungsmodell und Vertragsgestaltung. Normalerweise werden Monatsraten vereinbart, der Jahreszins muss dann auf einen Monatszins umgerechnet werden. Manche Hypothekenbanken rechnen auch etwa die Tilgung nicht sofort nach Zahlungseingang der Monatsrate von der Restschuld runter, sondern erst nach einigen Monaten oder am Jahresende. Natürlich erhält man so etwas andere Restschuldbeträge. Das sind aber Vertragsdetails die uns hier nicht interessieren sollen. Am besten, man rechnet das dann mit EXCEL genau nach und klärt vor allem mit dem Kreditgeber genau die Konditionen. Die Jahresbetrachtung ist aber eine schnelle und praktische überschlägige Betrachtung, die einem in der Größenordnung auch einen guten Anhaltspunkt zur Restschuld liefert.

Wichtig ist für Sie als Kreditnehmer folgende Erkenntnis, die Sie leicht per Durchrechnen verschiedener Zinsszenarien oder durch Überlegen gewinnen können. Bei niedrigen Kreditzinsen, wie aktuell 2016, und niedriger Tilgung (früher waren sogar mal nur 1% Tilgungen üblich) ergeben sich hohe Restschuldbeträge die man nach Ablauf der Zinsbindungsfrist dann eventuell teuer weiterfinanzieren muss. Die Jahresraten können dann unangenehm hoch werden und das Eigentum wackelt. Bei kurzen Laufzeiten (Zinsbindungsfristen) und einem Rückgang der Immobilienpreise oder mangelnder Erhaltung der Immobile könnte die Bank auch zur Einschätzung gelangen, dass der aktuelle Hauswert trotz Eigenkapitalpuffer nicht mehr als Sicherheit für die Restschuld ausreicht und einen Anschlussfinanzierung verweigern. Das bedeutet dann sofortige Rückzahlung der Restschuld. Oder eine Anschlussfinanzierung nur mit einem kräftigen Zinsaufschlag genehmigen, mir dem die Bank dann ihr höheres Ausfallrisiko kompensiert. Das bedeutet dann höhere Raten. Auch das hat manchen Häuslebauer schon seine Hütte gekostet, wie man in den letzten Immobilienkrisen (USA/Irland) sah. Da wurden typischerweise Käufer mit niedrigen Anfangszinsen, niedrige Tilgung (=niedrige Raten) und kurzen Laufzeiten in Immobilien gelockt, die sie sich eigentlich nicht leisten konnten. Die plötzlich rapide steigenden Jahresraten zwangen dann zur Aufgabe der Immobilie.