Differentialrechnung: Definitionen und Sätze ( Aufgaben dazu)

(Siehe auch die Aufgaben bei ganzrationale Funktionen, trigonometrische Funktionen)
Die erste Ableitung
Definition f: D → ℝ ist differenzierbar an einer Stelle x im Inneren von D genau dann, wenn folgender Grenzwert existiert:
         

f'(x) nennen wir die 1. Ableitung von f an der Stelle x. Dieser Wert gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an. Das Bild zeigt ferner die Sekante , an der Stelle x, deren Steigung durch den Differenzenquotienten (f(x+h) - f(x) ) / h beschrieben wird. Die Sekantensteigungen konvergieren also mit kleiner werdender Schrittweite h gegen die Tangentensteigung am Punkt x.


Im folgenden interaktiven Bild kann man das veranschaulichen. Klicke zunächst auf die checkboxen um sie zu leeren, dann auf Tangente und dann nacheinander auf die Sekanten.

An einer Stelle u ∈ D gibt f'(u) die Steigung der Tangente an den Graphen an.
Die allgemeine Tangentengleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle u.
T(x) = f(u) + (x-u)f'(u)
Sätze zu Monotonie und 1. Ableitung. I = [a;b]
f ist in I monoton steigend genau dann, wenn f'(x) ≥ 0 für alle x ∈ I.
f ist in I monoton fallend genau dann, wenn f'(x) ≤ 0 für alle x ∈ I.
f ist in I streng monoton steigend genau dann, wenn f'(x) > 0 für alle x ∈ I.
f ist in I streng monoton fallend genau dann, wenn f'(x) < 0 für alle x ∈ I.
Eine Funktion, die in einem Intervall streng monoton steigt, ist dort umkehrbar.

Die Sätze gelten auch noch, wenn man aus dem Intervall I abzählbar viele Stellen herausnimmt, an denen die Ableitung Null werden darf.

Beispiele Die Funktion f(x)= x 3 ist auf ganz ℝ streng monoton steigend, obwohl für x=0 die Ableitung f'(0) = 0 ist. Die Funktion f(x) = sin(x) ist auf dem Intervall [-π /2; π /2] streng monoton steigend obwohl die Ableitung an den Endpunkten des Intervalls Null wird.
Die Funktion f(x) = x + sin(x) ist auf ℝ streng monoton steigend obwohl die Ableitung an abzählbar unendlich vielen Stellen (welchen?) Null wird.

Vor den exakten Definitionen und Sätzen zunächst eine Illustration der Analysis in zwei Bildern:


Funktion f = (16 - (x-2) 4 ) /5 mit D(f) = ℝ schwarz, Ableitung f' blau,
f streng monoton wachsend für x <2, f'(x) >0
f streng monoton fallend für x> 2, f'(x) <0
f'(2) = 0, Vorzeichenwechsel von f' von + nach -, also an x=2 eine Maximalstelle, zugleich eine globale, da f' keine weiteren Nullstellen besitzt und die Funktion auf ganz ℝ betrachtet wird. Keine weiteren Extrema. Würden wir statt D(f) = ℝ zu betrachten, den Definitionsbereich D(f) auf ein Intervall einschränken, so müssten wir Funktion noch auf den Rändern des Intervalls untersuchen.
Beispiel : D(f) = [1;4]. an x=1 liegt eine lokale Mininimalstelle vor (Funktionswerte in Umgebung alle größer), an x=4 eine globale Minimalstelle.
Die reellen Nullstellen der Funktion: x=0 und x=4.


Funktion f mit D(f) = ℝ schwarz,
Ableitung f' = 0,8x 3 -3,2x = 0,8(x-2)(x+2)x blau,
Die Ableitung besitzt drei Nullstellen x=-2, x=0, x=2. Wir arbeiten uns durch den Definitionsbereich
Für x <-2: f dort streng monoton fallend, f'(x) <0
Für x=-2: f'(-2) = 0, dort Vorzeichenwechsel f' von - nach +, an x=-2 eine Minimimalstelle, sogar eine globale.
Für -2 < x < 0: f'(x)> 0, also f streng monoton wachsend.
Für x=0: f'(x)=0, dort Vorzeichenwechsel f' von + nach -, an x=0 eine lokale Maximalstelle, keine globale.
Für 0 < x < 2 : f streng monoton fallend, da f'(x) <0
Für x=2: f'(2) = 0, dort Vorzeichenwechsel f' von - nach +, an x=2 eine Minimimalstelle, sogar eine globale.
Für x > 2 : f(x)> 0, f streng monoton wachsend.
Bei einer Einschränkung des Definitionsbereiches D(f) = [-2;1] hätten wir an x=0 eine globale Maximalstelle, an x=-2 eine globale Minimalstelle und an x=1 eine lokale Minimalstelle (auch wenn dort keine waagerechte Tangente vorliegt!).
Die vier Nullstellen von f können auch berechnet werden (biquadratische Funktion)
f(x) = 0,2(x 2 -4) 2 -2 = 0 also (x 2 -4) 2 = 10
(x 2 -4) = 10 1/2 oder (x 2 -4) = -10 1/2
x 1 = (4 + 10 1/2 ) 1/2 und x 2 = -(4 + 10 1/2 ) 1/2 und x 3 = (4 - 10 1/2 ) 1/2 und x 4 = -(4 - 10 1/2 ) 1/2

In den folgenden Definitionen und Sätzen wird dies nun präzisiert.
Extrema
f: D → ℝ sei hinreichend oft differenzierbar.
U(x) bezeichne eine Umgebung von x , U(x) = ] x-r ; x + r [ für eine Zahl r>0.

Def:   x heißt lokale Minimalstelle von f genau dann, wenn f(x) ≤ f(u) für alle u ∈ U(x)
Def:   x heißt lokale Maximalstelle von f genau dann, wenn f(x) ≥ f(u) für alle u ∈ U(x)
Def:   x heißt globale Minimalstelle von f genau dann, wenn f(x) ≤ f(u) für alle u ∈ D
Def:   x heißt globale Maximalstelle von f genau dann, wenn f(x) ≥ f(u) für alle u ∈ D

Eine Extremalstelle bezeichnet eine Minimalstelle oder eine Maximalstelle

Gilt in jeweils f(x) < f(u) für u ≠ x , so spricht man von einer strengen (auch strikten) Minimalstelle.
Gilt in jeweils f(x) > f(u) für u ≠ x , so spricht man von einer strengen (auch strikten) Maximalstelle.

Beispiele:
f(x) =1 , x ∈ D=[0;1] : Jede Stelle x ∈ [0;1] ist Minimalstelle (und auch Maximalstelle) aber keine davon ist streng.

f(x) = x*x , strenge Minimalstelle an x=0.

Die gezeichnete Funktion hat Minimalstellen im Intervall [-1;1] aber keine davon ist streng.


Satz: Wenn x eine lokale Extremalstelle ist, dann gilt f'(x) = 0. (Notwendige Bedingung)
Satz: Wenn f'(x) = 0 und f' wechselt an x sein Vorzeichen von - nach + (also f'(x-r) < 0 und f'(x+r) > 0 für r > 0), dann ist x eine lokale Minimalstelle von f. (Hinreichende Bedingung)
Satz: Wenn f'(x) = 0 und f' wechselt an x sein Vorzeichen von + nach - (also f'(x-r) > 0 und f'(x+r) < 0 für r > 0), dann ist x eine lokale Maximalstelle von f.
Satz: Wenn f'(x) = 0 und f''(x) > 0, dann ist x eine lokale Minimalstelle von f.
Satz: Wenn f'(x) = 0 und f''(x) < 0, dann ist x eine lokale Maximalstelle von f.
Satz: Wenn f'(x) = 0 und f''(u) ≥ 0 für alle u ∈ D, dann ist x eine globale Minimalstelle von f.
Satz: Wenn f'(x) = 0 und f''(x) ≤ 0, für alle u ∈ D, dann ist x eine globale Maximalstelle von f.
Beachte: Die wenn-dann Aussagen sind nicht umkehrbar, es sind keine Äquivalenzen! Man nennt das hinreichende, aber nicht notwendige Kriterien.
Funktion blau, 1. Ableitung rot, 2. Ableitung grün.


Beispiel 1: f(x) = x 3 ; x ∈ ℝ
Zwar ist f'(0) = 0 aber x=0 ist keine Extremalstelle, sondern ein Terassenpunkt. Die Lösungen der Gleichung f'(x) = 0 sind also nur "Kandidaten" für Extremalstellen. Ob eine Lösung tatsächlich eine Extremalstelle (und von welcher Art diese) ist, muss also mit mit einem weiteren Kriterium überprüft werden. Der Satz sagt nur: Wenn f'(x) > 0 oder f'(x) < 0 vorliegt, dann ist x sicher keine Extremalstelle.
Beispiel 2: f(x) = x 4 ; x ∈ ℝ
Offenbar ist f'(0) = 0 und f''(0) = 0. Dennoch ist x=0 eine lokale Minimalstelle, denn an x=0 wechselt f' das Vorzeichen von - nach +. Das Kriterium der 2. Ableitung "greift" also manchmal nicht. Man kann die Ableitungskriterien erweitern.
In unserem Beispiel ist z.B. f''''(0) = 24 > 0.
Um diese Kriterien anwenden zu können, müssen die höheren Ableitungen jedoch einfach berechenbar sein (z.B. ganzrationale Funktionen, trigonometrische Funktionen ohne Verkettung).



Krümmung /Wendepunkte
Der Begriff der Krümmung zunächst an einem Beispiel, nebenstehendes Bild. Man stelle sich den Graphen einfach als Straße vor, die man entlangfährt.
Man sieht: Im Bereich x ≤ 0 ist der Graph rechtsgekrümmt (konkav) . Der Graph liegt oberhalb jeder Sehne zwischen zwei Punkten, deren Abszissen (x-Koordinatenwerte) ≤ 0 sind.
Im Bereich x ≥ 0 ist der Graph linksgekrümmt, (konvex) . der Graph liegt unterhalb jeder Sehne zwischen zwei Punkten, deren Abszissen (x-Koordinatenwerte) ≥ 0 sind.

Allgemeine Forumulierung dieser geometrischen Beobachtung als Ungleichungsbedingung: Die y-Koordinaten der Sehne zwischen zwei Punkten A=(u; f(u)) und B= (w;f(w)) kann man beschreiben durch
t f(u) + (1-t) f(w) ; t ∈ [0;1]
und die zugehörigen x-Koordinaten sind gerade
t u + (1-t) w ; t ∈ [0;1]
In Ungleichungen formuliert lauten unsere geometrischen Bedingungen an die Sehnen daher:

Definition
Der Graph einer Funktion heißt rechtsgekrümmt (konkav) in einem Intervall [a; b] wenn folgende Bedingung gilt:
f( t u + (1-t) w ) ≥ t f(u) + (1-t) f(w)   für alle u, w ∈ [a;b] und alle t ∈ [0;1]
Der Graph einer Funktion heißt linksgekrümmt (konvex) in einem Intervall [a; b] wenn folgende Bedingung gilt:
Für u ≠ w soll dabei in beiden Definitionen die strikte Ungleichung < ; bzw. > gelten.
f( t u + (1-t) w ) ≤ t f(u) + (1-t) f(w)   für alle u, w ∈ [a;b] und alle t ∈ [0;1]


Diese algebraischen Ungleichungen für die geometrischen Eigenschaften des Graphen sind leider etwas umständlich zu handhaben und nachzuweisen. Zum Glück gibt es für differenzierbare Funktionen recht einfache Kriterien, die das Krümmungsverhalten des Graphen charakterisieren.

Zunächst ein konkretes Beispiel: (Skizze nebenstehend)
Der Graph der Funktion f(x) = 1+ (x-2) 3 ist im Bereich x < 2 rechtsgekrümmt. Die erste Ableitung f' ist dort monoton fallend - die Steigung nimmt also ab. Die zweite Ableitung f'' ist somit negativ.
Für x > 2 ist es genau umgekehrt: Graph ist linksgekrümmt, Steigung nimmt zu, also f' monoton steigend und f'' ist somit positiv. An der Übergangsstelle x=2 hat die 2. Ableitung eine Nullstelle. Die Krümmung kann über die Monotonie der 1. Ableitung charakterisiert werden:
Satz:
Der Graph ist rechtsgekrümmt in [a;b] genau dann, wenn f' in ]a;b [ streng monoton fallend ist.
Der Graph ist linksgekrümmt in [a;b] genau dann, wenn f' in ]a;b [ streng monoton steigend ist.



Die Monotonie der ersten Ableitung kann man wieder über das Vorzeichen der zweiten Ableitung charakterisieren.
Satz. Der Graph ist rechtsgekrümmt in [a;b] genau dann, wenn f'' < 0; in ]a;b [
Der Graph ist linksgekrümmt in [a;b] genau dann, wenn f'' > 0 in ]a;b [




Im oben betrachteten Beispiel ging an der Stelle x=2 die Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung über. Einen solchen Punkt bezeichnet man als Wendepunkt. Die 2. Ableitung hat dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Allgemein gefasst:

Definition: Der Wendepunkt ist der Punkt, in dem geometrisch betrachtet eine Links- in eine Rechtskrümmung (oder umgekehrt) übergeht. Ein Wendepunkt x ist daher durch folgendes analytische Kriterium gekennzeichnet:

Satz SWP1 f sei zweimal in einer Umgebung von x differenzierbar.
Wenn f''(x) = 0 ist und wenn f'' einen Vorzeichenwechsel an x aufweist, dann ist x ein Wendepunkt.
Umgekehrt: Ist x ein Wendepunkt, dann besitzt f'' an x einen Vorzeichenwechsel.
Ein Wendepunkt x, an dem zusätzlich die Gleichung f'(x) = 0 erfüllt ist, ist dann ein Terassenpunkt (auch Sattelpunkt, waagerechte Tangente))


Dieses Kriterium erlaubt die zuverlässige Berechnung aller Wendepunkte, sofern man den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung numerisch sicher feststellen kann.

Beispiel WP1 : f(x)= x 5 , D=R.
Betrachte die Stelle x =0. Die 2. Ableitung f''(x)= 20x 3 hat an x=0 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (Skizze anfertigen!). Also liegt ein Wendepunkt vor. Wegen f'(0)= 0 ist dieser ein Terassenpunkt.

Beispiel WP2 : f(x)= (x-3) 9 + 17x , D=R.
Betrachte die Stelle x=3. Es ist f''(3) = 0 mit Vorzeichenwechsel, aber f'(3) = 17 > 0. Somit an x=3 ein Wendepunkt, aber kein Terassenpunkt.





Manche, aber nicht alle (!) Wendepunkte kann man mit einem weiteren Kriterium erfassen, das jedoch die Berechnung der 3. Ableitung erfordert.

Satz SWP2 Die Funktion f sei dreimal in einer Umgebung von x differenzierbar.
Wenn f''(x)= 0 und wenn |f'''(x)|> 0 (d.h. f''' hat keine Nullstelle an x) gilt, dann hat f an x einen Wendepunkt.


Dieses Kriterium SWP2 ist bei Schülern recht beliebt, aber es sei noch einmal deutlich gesagt: Manche Wendepunkte "erwischt" man damit leider gar nicht, weil es nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium ist. Bei unseren Beispielen WP1 und WP2 versagt das Kriterium beispielweise, weil die Voraussetzungen nicht erfüllt sind! Es macht in solchen Fällen eben keine Aussage über den WP.
Bei WP1 rechnet man sofort nach, dass f'''(0) = 0 ist, dennoch liegt ein WP vor. Das Kriterium greift also hier nicht.

Nur für ganzrationale Funktionen vom Grad 3 kann man das Kriterium SWP2 bedenkenlos anwenden, denn f''' ist in diesem Falle eine Konstante. (Vermutlich der Grund für die Beliebtheit).
Bei komplizierteren Funktionen (z.B. verkettete) , hat das Kriterium SWP2 einen weiteren Nachteil: Die Berechnung der 3. Ableitung kann sehr aufwendig sein.
Tipps zum Verstehen und Üben
Wie immer in der Mathematik: Die Begriffe dieses Abschnitts versteht man erst wirklich, wenn man eigene Zeichnungen dazu anfertigt und selbst Aufgaben rechnet. Dazu noch hier einige Anleitungen, Fragen und Vorschläge. Eignet sich übrigens gut für Gruppenarbeit.
Beachte auch: ( Noch weitere Rechenaufgaben zum Thema. )

Ganzrationale Funktionen:
Der Definitionsbereich sei im folgenden immer die ganze reelle Achse.
Zeichne jeweils verschiedenen Graphen ganzrationaler Funktionen vom Grad 2,3, 4, 5. und markiere die Bereiche mit Rechts- und mit Linkskrümmung.
Was lässt sich qualitativ über die Anzahl und Lage der Extremalstellen und der Wendepunkte sagen? Wieviele gibt es mindestens, wieviele höchstens?
Wie liegen Wendepunkte zu den Extremalstellen? (wichtig zur ersten Prüfung von Rechenergebnissen)
Kann es eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 ohne Wendepunkt geben? Allgemein für ungeraden Grad (3, 5, 7, ..) ?
Stelle jeweils einen Funktionsterme einer ganzrationalen Funktion vom Grad 4 auf, die keinen (einen, zwei) Wendepunkte besitzt.
Stelle den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 auf, die einen Wendepunkt bei x=2 und ein lokales Maximum bei x=3 besitzt.

Gib eine (möglichst einfache) ganzrationale Funktion vom Grad 100 ohne Wendepunkt an.
Hinweise zur Berechnung siehe Abschnitt (ganzrationale Funktionen.

Trigonometrische Funktionen:
Zeichne die Funktionen sin(x) ; sin(0,5x); sin(2x); sin(3x) auf dem Intervall [0; 2π]
Wo liegen jeweils Extremalstellen und Wendepunkte? Dasselbe für entsprechende Kosinusfunktionen. Wendepunkt der Tangensfunktion
Hinweise zur Berechnung im ( Abschnitt über Trigonometr. Funktionen. )

Log und Exp.
Besitzen die einfachen Logarithmusfunktionen log a (x) (D=R + ) bzw die Exponentialfunktion exp(x) (D=R) Extrema/Wendepunkt(e)?
Extremum und Wendepunkt(e) der Funktion exp(- x 2 ) und der Funktion exp( x 2 ) (D=R)?



Die folgende Grafik (ganzrationale Funktion vom Grad 4) druckst du aus und zeichnest darin ein: Extremalstellen, Wendepunkte, Nullstellen der 1. und 2. Ableitung, Bereiche monotonen Wachstums/Fallens, Rechtskrümmung, Linkskrümmung. Versuche auch die erste und zweite Ableitung der Funktion komplett zu skizzieren.