Ganzrationale Funktionen

Aufgaben zum Thema

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Die allgemeine ganzrationale Funktion vom Grad n
  x → f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + .... a 1 x 1 + a 0 x 0   ;   x   ;   n = Grad(f)


Der Funktionsterm heißt Polynom vom Grad n.

Allgemeine Eigenschaften:
1. Symmetrie:
Nur gerade Exponenten: Achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nur ungerade Exponenten: Punktsymmetisch zum Nullpunkt.
2. Maximaler Definitionsbereich ist stets D( f) = ℝ
In diesem Fall:
Es gibt mindestens eine Nullstelle wenn n ungerade ist.
Es gibt höchstens n reelle Nullstellen (Hauptsatz der Algebra) .

Wenn z eine Nullstelle von f ist, dann gibt es ein Polynom P vom Grad n-1 mit der Zerlegung
f(x)= (x-z) P(x).       (Teilfaktorisierung)

(x-z) heißt Linearfaktor und P erhält man durch Polynomdivision, wenn z bekannt ist.
Wenn zusätzlich |P(z)|> 0 gilt (also z keine Nullstelle von P ist), dann nennt man z eine einfache Nullstelle.
z ist eine k-fache Nullstelle von f, wenn es ein Polynom P gibt mit der Eigenschaft
f(x)= (x-z) k P(x) und z ist keine Nullstelle von P.


Die Grafik Abbildung 2 zeigt Beispiele mit Vielfachheiten von Nullstellen:
Funktion mit doppelter Nullstelle bei x=-1, vierfacher bei x=-3
Funktion mit einfacher Nullstelle bei x=1
Funktion mit dreifacher Nullstelle bei x=2


Beachte an den Beispielen: In der Nähe einer k-fachen Nullstelle z verhält sich der Graph der ganzrationalen Funktion wie der Graph einer Potenzfunktion a (x-z) k !

Im blauen Graphen also ähnlich einer quadratischen Parabel der Form a(x+1) 2 um x=-1, im roten ähnlich einer Geraden durch x=1. Im grünen Graphen um x=2 wie a(x-2) 3 .
Dies erlaubt Rückschlüsse auf die Art der Extrema, siehe jeweils den Punkt Analysis .
Die Abb1. zeigt eine achsensymmetrische (rot)
und eine nullpunktsymmetrische Funkion (blau)


Abbildung 1









Abbildung 2

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Grad1: Lineare Funktionen f(x) = ax +b , Geraden



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Separate Seite dazu: Grad 2: Quadratische Funktionen f(x) = a x 2 + b x + c



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Ganzrational vom Grad 3: f(x)= a x 3 + b x 2 + cx + d
Wirkung der Parameter a, b, c, d testen!
Die allgemeine Nullstellenbestimmung ist zwar im Prinzip mit den Formeln von Cardano möglich. Diese Formeln werden allerdings wegen ihrer Komplexität nicht im Schulunterricht angewendet. Sie sind aber in CAS (Computer-Algebra-Systemen) implementiert.

Nullstellenbestimmung in Sonderfällen:

1. Eine Teilfaktorisierung durch Ausklammern und/oder Substitution herstellen und Lösungsformel für quadratische Gleichungen verwenden, nur in seltenen Ausnahmefällen Terme ausmultiplizieren! Beispiele:
f(x) = 2x 3 - 10 x 2 + 12 x = 2x(x 2 - 5 x + 6 ) = 2x(x-2)(x-3)
f(x) = (2x+1) (x+2) 2 -3 (x+2) 2 = (x+2) 2 (2x-2)
f(x) = x 2 (5-x) - (x-5) 2x -63 (5-x) = (5-x) ( x 2 + 2x - 63 ) = (5-x)(x+9)(x-7)
f(x) = x 2 (5-x) - (x-5) 2x +63 (5-x) = (5-x) ( x 2 + 2x + 63 ) = (5-x)(x-7)(x+9)

2. Eine Nullstelle durch Raten ermitteln und das Polynom durch den zugehörigen Linearfaktor dividieren.


Kurvendiskussion mit Differentialrechnung:
Die Grafiken zeigen jeweils die Funktion(rot), ihre 1. Ableitung (blau) und 2 Ableitung (schwarz)




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Ganzrational vom Grad 4:   f(x)= a x 4 + b x 3 + cx 2 + dx + e

Wirkung der Parameter a, b, c, d, e interaktiv testen!



Vier einfache Nullstellen

Eine dreifache und eine einfache Nullstelle


Eine doppelte und zwei einfache Nullstellen
Zwei doppelte Nullstellen







Kurvendiskussion mit Differentialrechnung:



Graphen der Funktion (rot), 1. Ableitung (blau), 2. Ableitung (blaugrün)

Grad >4: