Gebrochen rationale Funktionen

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Gebrochen rationale Funktionen sind Quotienten rationaler Funktionen
P, Q: Polynome , f Quotient (gebrochen rationale Funktion) $$ f(x) = { P(x) \over Q(x) } \quad x\in D(f) $$ Abkürzung: Für eine Funktion P bezeichne N(P) die Menge der Nullstellen von P.
Beispiel: $$ P(x) = (x-2)^3(x+3)(x+10)^2 \quad N(P)= \{-10,-3, 2, \} $$

Einige einfache Beispiele

1. Beispiel: $$ \quad f(x) = { 1 \over x }, \quad x\in D(f) = I\!\!R \setminus \{0\} $$ stellt die wohlbekannte Hyperbel dar. Nullstellen besitzt sie nicht, für \( x \to \pm \infty \) ist der Grenzwert 0, somit waagerechte Asymptote y=0. Eine Polstelle bei x=0 -zugleich senkrechte Asymptote. .

2. Beispiel: $$ f(x) = { x^2+1 \over x^2 -1 } $$ Das Nennerpolynom \( x^2 -1 = (x-1)(x+1) \) hat die beiden Nullstellen x=1 und x=-1. Beide sind keine Nullstellen des Zählers - dieser besitzt überhaupt keine Nullstellen - also echte Definitionslücken und Polstellen. Also $$ D(f) = I\!\!R \setminus \{-1,1 \} $$ Die Funktion f selber besitzt keine Nullstellen, da der Zähler keine Nullstellen besitzt.
Um das Verhalten gegen unendlich zu untersuchen, klammern wir den größten gemeinsamen Exponenten von Zähler und Nenner aus und kürzen. $$ f(x) = { x^2+1 \over x^2 -1 } = {x^2 \over x^2 } \cdot { 1+ {1 \over x^2 } \over 1 - {1 \over x^2 } } = { 1+ {1 \over x^2 } \over 1 - {1 \over x^2 } } $$ Da die Terme mit \( x^2 \) im Nenner gegen Null konvergieren, nähert sich \( f \) für \( x \to \pm \infty \) der konstanten Funktion 1 an.

3. Beispiel: $$ f(x) = { (x+2)(x-1) \over x^2 -1 } , \quad D(f) = I\!\!R \setminus \{-1,1 \} $$ Wir haben hier wieder formal die beiden Nullstellen des Nenners herausgenommen. Es gibt aber einen wesentlichen Unterschied zu Beispiel 2. x=1 ist auch Nullstelle des Zählers. Wir können daher den Linearfaktor (x-1) der in Zähler und Nenner enthalten ist herauskürzen, und erhalten eine neue Funktion \( \bar{f } \) - die sogenannte stetige Fortsetzung von f - die in allen Punkten des alten Definitionsbereichs mit f übereinstimmt. Sie hat einen größeren Definitionsbereich: $$ \bar{f} (x) = { (x+2) \over x + 1 } , \quad D(\bar{f}) = I\!\!R \setminus \{-1 \} $$ Ergebnis: x=-1 ist also eine echte Definitionslücke (Polstelle) , x=1 eine unechte oder scheinbare. \( f \) besitzt hier auch nur eine Nullstelle x=-2 und nicht zwei wie man zunächst vermuten könnte. Die Asymptote ist - wie man durch Ausklammern der größten Potenz \( x^2 \) sieht, die Konstante 1.


Wir haben also an diesen einfachen Beispielen gelernt:
1. Man muss zunächst die Nullstellen von Zähler und Nenner bestimmen und dann die gemeinsamen Nullstellen herauskürzen.
2. Die derart gewonnene Funktion \( \bar{f} \) - genau genommen ist das die stetige Fortsetzung der Originalfunktion auf einen maximalen Defintionsbereich- liefert dann alle wesentlichen Informationen:
Ihre Nullstellen sind genau die Nullstellen des Zählerpolynoms
Ihre Polstellen und Definitionslücken sind genau die Nullstellen des Nennerpolynoms
3. Asymptoten für \( x \to \pm \infty \) erhält man durch Ausklammern und Kürzen der größten gemeinsamen Potenz.

Weitere Beispiele
4. Beispiel
$$ f(x) = { x^3-2x^2+2x-4 \over x^2 -4 } , \quad D(f) = I\!\!R \setminus \{-2,2 \} $$ Wie üblich haben wir die Nullstellen des Nennerpolynoms zunächst aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Aie Analyse des Zählerpolynoms ist diesmal etwas schwieriger. Die Nullstellen könnte man im Prinzip mit den Formeln des Cardano ermitteln - dies ist jeoch aufwendig.
Cardanische Formeln
Wir versuchen zunächst eine ganzahlige Nullstelle zu erraten. Der geschulte Blick vermutet aus den Koeffizienten 2,2,4 und den alternierenden Vorzeichen als Nullstelle x=2, und tatsächlich, Einsetzen bestätigt dies. Mit Polynomdivision dividieren wir den zugehörigen Linearfaktor x-2 heraus um das Restpolynom vom Grad 2 und eine Faktorisierung des Zählers zu erhalten. $$ (x^3-2x^2+2x-4) : (x-2) = x^2 + 2 \Longrightarrow x^3-2x^2+2x-4 = (x-2)( x^2 + 2) $$ Bemerkung für Studenten: Das Restpolynom \( x^2 + 2 \) hat die konjugiert komplexen Nullstellen $$ x_1 = - i \sqrt{2} , \ x_2= i \sqrt{2} $$ Diese spielen aber für die weitere Betrachtung keine Rolle, da sie keine Nullstellen des Nenners sind. x=2 ist Nullstelle sowohl des Zählers als auch des Nenners und kann wieder herausgekürzt werden. Die stetige Fortsetzung von f ist somit $$ \bar{f} (x) = { (x^2+2) \over x +2 } , \quad D(\bar{f} ) = I\!\!R \setminus \{-2 \} $$ Wer die Polynomdivison nicht beherrscht, kann auch ein CAS dazu nutzen
Mit Wolfram berechnen
und gleich alle Nullstellen damit auswerfen lassen
Nullstellen mit Wolfram Alpha
Die Asymptotik erhält man wieder durch Ausklammern des größten gemeinsamen Faktors - diesmal x - in Zähler und Nenner und kürzen. $$ \bar{f} (x) = { (x^2+2) \over x +2 } = { (x+2/x ) \over 1 +2/x } $$ Die Funktion nähert sich also für \( x \to \pm \infty \) der Geraden y=x an.
Die Grafiken zeigen die Funktion in zwei Skalierungen - rot jeweils die Asymptote y=x. Man beachte ferner die senkrechte Asymptote an x=2.
   

Etwas Analysis kann man hier auch betreiben um die lokalen Extremalstellen zu berechnen. Wir bestimmen dazu mit der Quotientenregel die (erste) Ableitung und sodann, als Kandidaten für Extremalstellen, die Nullstellen der Ableitung -das sind hier wieder die Nullstellen des Zählers der Ableitung: $$ f'(x) = { x^2 - 4x +2 \over (x+2)^2 } = 0 \Longrightarrow x_1 = -2 - \sqrt{6} , \ x_2 = -2 + \sqrt{6} $$ Der Zähler der Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel, der Nenner stets positiv für alle x.
An \(x_1 \) wechselt das Vorzeichen von \( f' \) von + nach - , die Steigung von \( f \) also von positiv zu negativ, somit ist \(x_1 \) also lokale Maximalstelle. An der Stelle \(x_2 \) verhält es sich genau umgekehrt, somit ist dies die lokale Minimalstelle. Mit CAS geht das natürlich schneller
Minimiere f mit Wolfram Alpha

Übungen: A1: Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die stetige Fortsetzung, skizzieren Sie die Graphen und Asymptoten, und zeichnen Sie die Definitionslücken ein, an denen keine Unendlichkeitsstellen vorliegen (also unechte Polstellen). $$ (a) \ f(x) = { x^3 + x \over 3x} \quad (b) \ f(x) = { x-4 \over x^2 - 4x } \quad (c)\ f(x) = {x^2 +x-6 \over 2x^2 -10x + 12 } $$
A2: (Schulaufgabe Klasse 11/G9). Gegeben ist die Funktion $$ f(x) = {{ x^3 + 11 x^2 + 38 x + 40 } \over {3(x+5 )(x^2 -16) } } , \quad x \in D(f) =\{ x \in I\!\!R : (x+5 )(x^2 -16) \ne 0 \} $$ Bestimmen Sie Lage und Art der Definitionslücken (Polstellen) sowie die Nullstellen der Funktion und geben Sie die maximale stetige Fortsetzung der Funktion an. Bestimmen Sie die Asymptoten des Funktionsgraphen.

A3: Parameterabhängige Funktionen. Bestimmen Sie in in Abhängigkeit des Parameters $p$ die echten und unechten Polstellen und ggf. die stetige Fortsetzung der Funktion f , sowie ihre Nullstellen und zeichnen Sie die Asymptoten. $$ f_p(x) = { x^2 -2x + p \over (x-p)(x-2) } \quad x \in D(f)$$