Volumen und Oberflächenberechnungen Kugel/Kegel/Zylinder

Zylinder
Volumen V, Mantelfläche M und Oberfläche O des Zylinders mit Radius r und Höhe h:
Kugel
Volumen V und Oberfläche O der Kugel mit Radius r :
Kegel
Volumen V, Mantelfläche M und Oberfläche O des Kegels mit Grundkreisradius r und Höhe h :

Kegelstumpf
Volumen V, Mantelfläche M und Oberfläche O des Kegelstumpfs:
Das Volumen des Kegelstumpfs erhält man, indem man von einem großen Ausgangskegel, dessen Höhe H man über den Strahlensatz ermittelt, einen kleineren Kegel mit Höhe H-h subtrahiert. Strahlensatz hier:
R/r = H /(H-h)
Und der Satz des Pythagoras angewandt:
l 2 = h 2 + (R-r) 2

Ein Kegel wird durch eine Ebene parallel zur Grundfläche in zwei Teilkörper zerschnitten.

Aufgabe 1 In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Teilkörper, wenn der Schnitt genau auf der halben Höhe des Kegels ausgeführt wird?

Aufgabe 2 In welcher Höhe muss der Kegel durchgeschnitten werden, damit die beiden Teilkörper genau dasselbe Volumen besitzen?

Aufgabe 3 Bearbeite die Fragestellungen aus Aufgabe 1 und 2 für die Oberfläche anstelle des Volumens.

Aufgabe zum Knobeln. Wir betrachten hier den schräg abgeschnittenen Kegelstumpf. Der Radius des Grundkreises sei r, die Höhe des gesamten Kegels sei h. Die größte Höhe des schrägen Stumpfs sei ho , die kleinste hu . Wie kann man hier das Volumen berechnen?
Hinweis für studentische Leser: Man kann die Aufgabe zwar mit einem Volumenintegral lösen, es geht aber auch mit guter räumlicher Vorstellung elementargeometrisch über einen geeigneten Kegelstumpf.






Aufgabe 4 Die Kugel hat den Radius r, dieser ist zugleich Grundflächenradius des Zylinders. Für welche Höhe h des Zylinders besitzen beide Körper dasselbe Volumen? Um wieviel Prozent ist die Oberfläche des Zylinders dann größer als die Oberfläche der Kugel?
Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt die Hälfte einer Hohlkugel. Angenommen die Hohlkugel liegt als Ganzes vor, und wir wollen die Wandstärke d bestimmen, ohne die Hohlkugel anzubohren oder aufzuschneiden. Bekannt sind das Material (z.B. Kupfer Cu ), dessen Dichte ( ρ = 8,93 kg/dm 3 ) und man kann den Außenradius r sowie die Masse m durch Messung bestimmen. Wie kann man aus diesen Angaben die Wandstärke d berechnen?



Aufgabe 6
Auch hier geht es um die Hohlkugel (Bild oben) Der Außenradius sei r und die Wandstärke sei d.
(a) Anstatt der exakten Berechnung des Hohlkugelvolumens nehmen wir als Näherung für das Volumen den Oberflächeninhalt mal die Wandstärke. Wie groß ist der dabei entstehende Fehler?
(b) Wie kann man aus dem Hohlkugelvolumen die Formel für den Oberflächeninhalt gewinnen? (Grenzwertprozess, Wandstärke gegen Null gehen lassen). Ausführung= Übung. )



Lösung: Hohlkugelvolumen exakt:  
V(r)- V(r-d) = 4 π (r 3 - (r-d) 3 )/ 3 = 4 π (dr 2 - rd 2 + d 3 / 3 )

Näherung für das Volumen: Wandstärke d mal Oberflächeninhalt:
  d O(r) = 4 π d r 2
Näherung für die Oberfläche über das Hohlkörpervolumen:
O Näherung = (V(r)- V(r-d))/d = 4 π (r 2 - rd + d 2 / 3 )
Lässt man die Wandstärke d der Hohlkugel gegen Null gehen, erhält man als Grenzwert den exakten Oberflächeninhalt der Kugel: O Kugel = 4 π (r 2

Bemerkung: Die Differenz zwischen dem exakten Volumen der Hohlkugel und der Näherung durch den Oberflächeninhalt mal Wandstärke ( also der abslolute Fehler) wird damit durch den Term
4 π ( - rd 2 + d 3 / 3 )

beschrieben. Man sieht, dass für Wandstärken d, die relativ klein zum Radius r sind, ein Fehler der Ordnung rd2 durch die Näherung entsteht.

In der Physik geht man übrigens ähnlich vor, wenn man eine volumenbezogene Dichte in eine flächenbezogene Dichte umrechnen will.

Aufgabe 7
Der abgebildete Körper (Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel) soll
(a) dasselbe Volumen
(b) denselben Oberflächeninhalt
besitzen, wie eine Kugel mit dem Radius r. Bestimme in beiden Fällen die Höhe h.
Berechne in (a) um wieviel Prozent der Oberflächeninhalt des Körpers größer ist als die der Kugel mit Radius r.