Trigonometrische Funktionen ( Aufgaben dazu )

Definition der Funktionen am rechtwinkligen Dreieck im Intervall [0;90°]
Die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck werden für einen Winkel 0 ≤ t ≤ 90° wie folgt als Funktionen definiert.
Bezeichnungen: t Winkel, b Ankathete, a Gegenkathete, c Hypothenuse, sin ist der Sinus des Winkels, cos ist der Kosinus des Winkels, tan der Tangens des Winkels. Es ist dabei t ein Winkel zwischen 0° und 90°, der Tangens ist für 90° nicht definiert.
Gegenwinkel zu t:
sin(t) = a/c = cos(90° - t)     cos(t) = sin(90° -t)
Für einige Winkel (0° , 30°, 45°, 60°, 90° ) sind die Funktionswerte elementargeometrisch zu ermitteln über den Satz des Pythagoras.
Das Bogenmaß
Die Länge des Kreisbogens des Einheitskreises (Kreis mit Radius 1) beträgt 2 π . Die des halben Kreises die Hälfte, also π , die des Viertelkreises π/2 usw. Offenbar ist also die Länge l(t) eines Kreisbogenstücks zu einem Winkel t immer proportional zu diesem Winkel.
Dreisatz ergibt die die Umrechnungsformel:
l(t)/2π = t /360°
Also kann man diese Länge auch als ein (alternatives) Winkelmaß nehmen, man nennt dies das Bogenmaß. Auf dem Taschenrechner wird für das Bogenmaß das Symbol R verwendet (engl. Radian) im Gegensatz zum Gradmaß D (engl. degree). Wenn keine Zahlenangaben in einer Formel ersichtlich machen, welches Winkelmaß gemeint ist, kann man das Maßsymbol als Index setzen. Also t D für den Winkel im Gradmaß, t R für den Winkel im Bogenmaß.
Einheitskreis: Ausdehnung der Funktionen auf das Intervall [0;360°] und reelle Achse
Durch Betrachtung der Gegenwinkel und Spiegelung im Einheitskreis kann man die Trigonometrischen Funktionen auf natürliche Weise auch für andere Winkel außerhalb des Intervalls [0;90°] definieren. Wir bewegen uns gegen den Uhrzeigersinn auf dem Einheitskreis und betrachten zunächst im Quadrant II Winkel w mit 90 ≤ w ≤ 180°. Der Winkel t ist dabei der Ergänzungswinkel zu w bis 180° (bzw. π ) , es gilt also w+t = 180° bzw. w+t = π
Die Sinuswerte und Kosinuswerte von t sind schon definiert und die Werte für w kann man wie im Bild unten gezeigt direkt daraus ablesen:
sin(w) = sin(180°-t) = sin(t) und cos(w) = cos(180°-t) = - cos(t).
Zum Beispiel ist sin(135°) = sin(180° - 45°) = sin(45°) = 2 -1/2 und cos(135°) = cos(180°-45°) = - cos(45°) = - 2 -1/2 .
Die Werte für die Ausdehnung in die verbleibenden Quadranten III (180° ≤ w ≤ 270°) und IV ( 270° ≤ w ≤ 360° ) ergeben sich analog durch Spiegelung an der x-Achse. Alle Informationen dazu im Bild unten, Vorzeichen beachten.
Zahlenbeispiele: sin(190°) = sin(180° + 10° ) = - sin(10°). cos(243°) = cos(180°+ 63°) = - cos(63°).
sin(333°) = sin(360° - 27°) = -sin(27°). cos(359°) = cos(360°-1°) = cos(1°).
Im Bogenmaß: sin(11 π /12 ) = sin(π - π /12) = sin(π /12) und cos(17π /14) = cos( π + 3π /14) = - cos(3π) Wir sehen also: Alle Werte der Sinus- und Kosinusfunktion aus dem Intervall [0;90°] (bzw. [0;π/2] wiederholen sich in den anderen Quadranten bis auf das Vorzeichen.



Konstruktion des Sinusgraphen aus den Werten im Einheitskres.


Mit der Desmos-Online-Demo

Für Winkel w > 360° (bzw 2 π ) sowie Winkel w < 0 drehen wir einfach weiter am Rad sprich dem Einheitskreis und sehen so, dass sich alle Werte der Sinus- und der Kosinusfunktion wiederholen. Nach 360° (2 π ) sind wir wieder am Ausgangspunkt.
sin(t+ 360° ) = sin(t)   cos(t+ 360° ) = cos(t)
sin(t+ 2π) = sin(t)   cos(t+ 2π) = cos(t)
sin(t+ k 360° ) = sin(t)   cos(t+ k 360° ) = cos(t) für alle ganzen Zahlen k.
sin(t+ k 2π) = sin(t)   cos(t+ k 2π) = cos(t) für alle ganzen Zahlen k.
Die Sinus- und Kosinusfunktion lässt sich damit auf die ganze reelle Achse 2 π -periodisch (360°-periodisch) ausdehnen! Jeder Wert lässt sich auf einen Wert für einen Winkel im Intervall [0;90°] bzw. [0;π/2] zurückführen. Es genügt also, diese Werte zu kennen (Tabellen)!


Eigenschaften der Trigonometrischen Funktionen
Maximaler Definitionsbereich von Sinus und Kosinus wie oben dargestellt ℝ.
Am Einheitskreis kann man ablesen: Wertemenge: [-1;1].
Die Funktionen sind 2π periodisch: Für alle x ∈ ℝ und alle ganzen Zahlen k gilt:
sin(x + 2k π ) = sin(x)   und   cos(x + 2k π ) = cos(x)

Der Kosinus ist ein um π /2 verschobener Sinus:
Für alle x ∈ ℝ gilt die Gleichung:   cos(x) = sin(x + π /2) = sin(x- π /2)





Umkehrfunktion arctan()




Symmetrie : arctan() und der Hauptwert des tan sind punktsymmetrisch bezgl Nullpunkt, also ungerade Funktionen.

Die allgemeine Sinusfunktion   x → f(x) = a sin(bx+c) + d   ;   x
|a|>0 heißt Amplitude, |b|>0 Frequenz.
Die Änderung dieser Größen spielt zum Beispiel in der Signalübertragung (Rundfunktechnik) eine Rolle: AM und FM. Amplitudenmodulation (AM)
Die Wirkung der Parameter a, b, c, d kann hier interaktiv getestet werden :
Mit Zeichenumgebung flot verschiedene Param.
asin(x) Mit Zeichenumgebung flot/Schieberegler
sin(bx) Mit Zeichenumgebung flot/Schieberegler
sin(x+c) Mit Zeichenumgebung flot/Schieberegler
sin(x) +d Mit Zeichenumgebung flot/Schieberegler
a*sin(bx+c) +d Mit Zeichenumgebung flot/Schieberegler
Mit Zeichenumgebung rgraph (nicht für IE8!)


Erläuterungen:
1. Parameter a:   f(x)= asin(x)
Wirkung: Streckung/Stauchung des Graphen um |a| in y. Wenn a<0 dann zugleich Spiegelung an x-Achse.
Periodenlänge 2 π
2. Parameter b:   f(x) = sin(bx)
Periodenlänge: 2 π /b
Streckung des Graphen um den Faktor 1/|b| in x. Keine Verschiebung des Graphen auf der x-Achse.
Gezeichnet wurde:
f(x) = sin(x), sowie
sin(0.5x)  
Nullstellen x=0; x= 2 π; x = 4π; ... x=-2π...

sin(2x)
3. Parameter c:   f(x) = sin(x+c)
Periodenlänge: 2 π
Verschiebung des Graphen um - c auf der x-Achse.
Erklärung: x+c=0 für x=-c.
Das Bild zeigt:
f(x) = sin(x)
h(x) = sin(x -π /4 ) 
(Nullstellen verschoben um π /4 nach rechts!)

g(x) = sin(x + π /3 )
(Nullstellen verschoben um π /3 nach links!)
4. Parameter b und c:
  f(x) = sin(bx+ c ) = sin( b ( x+ c/b) )

Periodenlänge: 2 π /b
Streckung des Graphen um 1/|b| in x und dann Verschiebung um - c/b auf der x-Achse.
Das Bild zeigt:
f(x) = sin(x) also b=c=0 , sowie
sin(2x -π /3 ) Parameter: b=2, c=1/3  
(Verschiebung der Nullstelle x=0 um π /6 = -c/b nach rechts)

5. Parameter d   f(x) = d + sin(x )
Verschiebung des Graphen um d auf y Achse.
Das Bild zeigt:
f(x) = sin(x) also d=0, sowie
0,8 + sin(x) Parameter: d=0,8  


Zur allgemeinen Sinusfunktion
Symmetrie asin(bx) = -asin(-bx) (Punktsymmetrie zum Nullpunkt-ungerade Funktion )
acos(bx) = a cos(-bx) (Achsensymmetrie bezüglich y-Achse-gerade Funktion )

Verschiebung der Nullstellen (Bilder oben) und Streckung /Verschiebung des Graphen
Vergleiche die Funktion sin(x) mit der Funktion f(x) = sin(bx +c) = sin(b(x+ c/b)).
Die Bilder oben zeigen bereits den Zusammenhang an Beispielen.

Allgemeine Rechnung zur Nullstellenverschiebung:
Nullstellen des Sinus:   0 = sin(0) = sin( π) = sin( 2π)= sin( 3π)=....
Also: 0 = sin( bx +c) für b x + c =0 , für b x + c = π, für b x + c = 2π usw.
Lösungen: x 1 = -c/b, x 2 = (π -c) / b, x 3 = (2π -c) / b, usw.
Die 1. Nullstelle 0 des Sinus wird also um -c/b verschoben.
Der Graph wird um den Faktor 1/|b| gestaucht in x- Richtung.
Der Abstand der Nullstellen beträgt π /b
Die Periodenlänge von f beträgt 2π /b
(Der Abstand benachbarter Nullstellen beträgt genau die halbe Periodenlänge)

Bei der Funktion sin(x) entspricht das Intervall [0; 2π ] gerade dem Intervall [ x 1 ; x 3 ] (für b > 0) bzw. dem Intervall [ x 3 ; x 1 ] (für b < 0 ) bei der Funktion sin(bx+c).

Beispiel: f(x)= sin(2x - π /2 ). b=2 und c = - π /2
x 1 = -c/b = π /4   x 2 = (π -c) / b = 3π /4   x 3 = (2π -c) / b = 5π /4
Periodenlänge: π Im Bild (rot die Intervalle einer Periode. ) :




Lösungen von Sinusgleichungen und Umkehrfunktionen :

   &;
Die Gerade y=0,7 schneidet den Graphen der Sinusfunktion zweimal im Intervall I= [0;2π] , ebenso die Gerade y=-0,4. Wohingegen die Geraden y=1 und y=-1 den Graphen im Intervall I= [0;2π] jeweils nur einmal berühren.

Im Intervall I= [0;2π] (sogar in jedem Intervall der Länge 2π ) hat die Gleichung
sin(w) = y   (bzw. cos(w)= y )
für jede vorgegebene Zahl y mit 0 < |y| < 1 genau zwei Lösungen w 1 und w 2 . Der Taschenrechner liefert in der Regel nur eine dieser Lösungen. Bei negativen y in der Regel auch einen negativen Winkel. Der Taschenrechner löst also die Sinusgleichung nur auf im Intervall [-π /2 ; π /2 ].

Die zweite Lösung muss man sich über den Einheitskreis oder den Graphen durch Winkelverschiebung verschaffen.

Beispiele:
1. sin(w) = 1/2. Taschenrechner/Tabelle: w 1 = sin -1 (1/2) = π /6.
Die zweite Lösung im Intervall I ist w 2 = π - π /6 = 5π /6.
2. sin(w) = -1/2. Taschenrechner/Tabelle: w 1 = sin -1 (-1/2) = -π /6.
Die zweite Lösung ist -π + π/6 = -5 π / 6.

Umkehrfunktion des Sinus Damit ist auch klar, dass die Umkehrfunktion arcsin(x) , D = [-1;1] (auf Taschenrechnern auch oft sin -1 bezeichnet) jeweils immer nur zu einer Sinusfunktion eingeschränkt auf eines der Intervalle
[-π /2 +kπ ; π /2 + kπ ]; (k aus Z)
existieren kann. Im Bild eine Darstellung des Hauptwerts arcsin(). Die angegebenen Werte stimmen allerdings nicht - es müsste ja arcsin(1) = π /2 sein! Die anderen Werte erhält man wie oben demonstriert durch Verschiebung um geeignete Winkel - siehe Einheitskreis oder Sinusgraph.


Für den Kosinus erhält man jeweils auf Intervallen
[kπ ; π kπ ]; (k ganze Zahl) eine Umkehrfunktion arccos(x) D=[-1;1] .


Lösung allgemeiner Sinusgleichungen.
Gegeben y mit |y| ≤ 1.   Gesucht x mit a sin(bx+c) + d = y. Voraussetzung |a| > 0. und |b| > 0
1. Die Gleichung ist äquivalent zu sin(bx+c) = (y-d)/b
2. Substitution w = bx +c
3. Löse sin(w) = (y-d)/a wie oben beschrieben.
Wenn |(y-d)/a| < 1 dann gibt es zwei Lösungen w 1 und w 2 , aber für |(y-d)/a| = 1 nur eine Lösung
4. Alle Lösungen auf der reellen Achse bekommt man durch die 2π Periodizität. Eine Lösung der Ausgangsgleichung hat stets die Darstellung
w 1 (k) = w 1 + k 2π oder w 2 (k) = w 2 + k 2π
mit einer ganzen Zahl k.
5. Auflösen der Substitution: bx+ c = w(k) also x = ( w(k) - c )/ b.
Die Lösungsmenge ist also
x 1 (k) = (w 1 + k 2π - c) / b und x 2 (k) = (w 2 + k 2π - c) / b

Wenn die Lösung auf einem bestimmten Intervall gesucht wird, dann muss man die Zahlen k passend auswählen, dass Lösungen im Intervall liegen.

Beipiel 1: Nullstellenbestimmung (y=d )
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 4sin( 5x + π/4) = 0.
1. Die Gleichung ist offenbar äquivalent zu sin( 5x + π /4) = 0
2. Substitution: w = 5x + π /4 .
3. Die Gleichung sin(w) = 0 hat im Intervall [0, 2π [ die Lösungen
w 1 = 0 und w 2 = π
(Auf dem abgeschlossenen Intervall [0, 2π ] gäbe es noch die Lösung w=2π , aber die erhalten wir ohnehin aus w 1 über die 2π Periodizität.)
4. Somit sind alle Lösungen auf der reellen Achse gegeben durch
w(k) = 0 + 2kπ und w(k) = π + 2kπ mit ganzen Zahlen k.
5. Auflösen der Substitution:
x 1 (k) = ( 0 + 2kπ - π /4) / 5 = ( (8k-1)π ) / 20
x 2 (k) = ( π + 2kπ -+ π /4 . ) / 5 = ( (8k+3) π/4 ) / 5 = ( (8k+3) π/20 )
k=0: ( -π ) / 20
k=1: (7/20)π und (8+3)π ) / 20 = (11/20)π usw.


Beispiel 2.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 5sin(2x + π /4) = 5.

1. Die Gleichung ist offenbar äquivalent zu sin( 2x + π /4) = 1
2. Substitution: w = 2x + π /4 .
3. Die Gleichung sin(w) = 1 hat im Intervall [0, 2π ] die Lösung
w 1 = π /2
4. Somit sind alle Lösungen auf der reellen Achse gegeben durch
w(k) = π /2 + 2kπ mit ganzen Zahlen k.
5. Auflösen der Substitution:
x(k) = (π /2 + 2kπ - π /4) / 2 = ( π /4 + 2kπ )/2 = π /8 + kπ
k=0: x(0)= π /8 ; k=1: x(1) = (9/8) π usw. ...
k=-1: x(-1) = π /8 - π k=-2: x(-2) = π /8 - 2π = -(15/8) π /8 + kπ usw.


Beispiel 3.
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 2sin(3x + π /2) +1 = 2 .

1. Die Gleichung ist äquivalent zu sin( 3x + π /2) = 1/2
2. Substitution w = 3x + π /2 .
3. Die Gleichung sin(w) = 1/2 hat im Intervall [0, 2π ] die Lösungen
w 1 = π /4 und w 2 = 3π /4.
4. Somit sind alle Lösungen auf der reellen Achse gegeben durch
w(k) = π /4 + 2kπ und w(k) = 3π /4 + 2kπ mit ganzen Zahlen k.
5. Auflösen der Substitution:
x 1 (k) = (π /4 + 2kπ - π /2) / 3 = (- π /4 + 2kπ ) / 3 = - π /12 + 2kπ/3
x 2 (k) = (3π /4 + 2kπ - π /2) / 3 = ( π /4 + 2kπ ) / 3 = π /12 + 2kπ/3

Wenn wir zum Beispiel alle Lösungen x im Intervall [0; 3π ] suchen, dann müssen wir die Zahlen k passend wählen.
0 ≤ x 1 (k)= - π /12 + 2kπ/3 ≤ 4 π für k=1; k=2; k=3; k=4.
0 ≤ x 2 (k) π /12 + 2kπ/3 ≤ 4 π für k=0; k=1; k=2; k=3; k=4.
Im Intervall lägen also die 9 Lösungen
x 1 (1) = - π /12 + 2π/3 ; ... x 1 (4) = - π /12 + 8π/3 und
x 2 (0)= π /12 + 2kπ/3 ... x 2 (4)= π /12 + 8π/3.

Differentialrechnung mit trigonometrischen Funktionen
Die Sinus- und Kosinusfunktionen bilden ein "geschlossenes System" bezüglich der Differentiation.
f(x) = sin(x)     f'(x) = cos(x)     f''(x) = - sin(x)     f'''(x) = -cos(x)     f''''(x) = f(x)  
g(x) = cos (x)     g'(x) = -sin(x)     g''(x) = - cos(x)     g'''(x) = sin(x)     g''''(x) = g(x)    

Die Sinusfunktion eignet sich damit zur Beschreibung von Vorgängen, bei denen die 2. Ableitung oder die 4. Ableitung des Zustands proportional zum Zustand sind, z.B. Schwingungen. (siehe Expeditionen/Schwingungen)
Die Bestimmung von Extremalstellen führt direkt wieder auf die oben behandelte Nullstellenbestimmung bei trigonometrischen Funktionen.

Beispiel: Gesucht sind die Extremalstellen der Funktion f(x) = 2 sin(3x + π /4).
Wir bestimmen als Kandidaten dafür zunächst die Nullstellen der Ableitung. Kettenregel beachten.
Bestimme also die Lösungsmenge von f'(x) = 6 cos(3x + π /4) = 0.
Das Problem ist durch π /2 Verschiebung aber äquivalent zum Problem
6 sin( 3x + π /4 + π /2) = 6 sin( 3x + 3π /4 ) =0.
Nun bestimmen wir nach dem Schema von Beispiel 1 die Nullstellen. Die Zahlen k sind dabei immer ganze Zahlen.
3 x(k) + 3π /4 = 0 + 2k π oder 3 x(k) + 3π /4 = π + 2k π
Dies liefert die Lösungsmenge
x 1 (k) = (- 3π /4 + 2k π ) /3 oder x 2(k) = ( π /4 + 2k π )/3
Einsetzen der Zahlen in die 2. Ableitung f''(x) = -18 sin(3x + π /4) :
f''( x 1 (k) ) = -18 sin( (- 3 π /4 + 2k π ) + π /4) = -18 sin( - π /2 + 2k π) = 18 > 0
f''(x 2 (k) ) = -18 sin( ( π /4 + 2k π ) + π /4) = -18 sin( π /2 + 2k π) = -18 < 0
Die Zahlen x 1 (k) sind also die lokalen Minimalstellen von f auf der ganzen reellen Achse,
die Zahlen x 2 (k) die lokalen Maximalstellen. Sie sind auch globale, da der Funktionswert an diesen Stellen -2 bzw. +2 beträgt und wegen 2|sin()| ≤ 2 auch nicht kleiner bzw. größer werden kann.