Zurück

Aufgaben zu komplexen Zahlen und Funktionen

Empfehlung: Da dieser Abschnitt eingehende Kenntnisse trigonometrischer Funktionen voraussetzt, verweise ich für Grundlagen auf die Seite Mathematik/Schule/trigonometrische Funktionen (Einheitskreis, Periodizität, Winkel, Verschiebung, Frequenz usw. )

Eine ausführliche Einführung und Aufgaben in das Thema "Komplexe Zahlen" finden Sie zum Beispiel in diesem Skript.

Aufgabe 1.

Bestimmen Sie zu den den in Normalform angegebenen komplexen Zahlen zunächst den Betrag und das Argument in Grad- und Bogenmaß. Bestimmen Sie dann jeweils die 5. Potenz sowie die 2. und 3. Wurzel der Zahlen in Polardarstellung und in Normalform (ggf. näherungsweise, sofern nicht exakt möglich). $$ (a) z_1 = 2j , \quad (b) z_2 = {1\over 2 } ( 1+ j \sqrt{3}) , \quad (c) z_3 = -1, \quad z_4 = -1 - j \sqrt{3}) , $$ Gibt es eine ganze Zahl $k$ so dass $$ z_2^k = {z_4 \over 2 } $$ gilt?

Aufgabe 2.

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen in Normalform und Polarform $$ (a) z^2 = 1+2j \quad (b) z^2 + z = 1+2j , \quad (c) z^4 = -1-j , \quad 2z^4 - 2z^2 + 5 = 0 . $$ Können Sie ohne Berechnung der Lösungen vorab schon sagen, wieviele (paarweise) verschiedene Lösungen diese Gleichungen jeweils besitzen? $$ (z^5-32)(z^3-125) = 0, \quad z^{10} = 1024 $$

Aufgabe 4

Skizzieren Sie in der Gauß'schen Zahleebene jeweils die Zahlenmenge, die duch die angegebene Bedingung festgelegt wird.
1. $ |z| \le 2$
2. $ |z-(1+j)| \le 3 $
3. $ |z| \le 2$ und $ |z-(1+j)| \le 3 $
4. $ z= x + j y $, $|x| \le 1, |y|\le 2 $
5. $ |z| \le 2 \arg(z) $ (Argument im Bogenmaß!)
6. $ |z| \le |z-(1+j)| $

Aufgabe 5

Gegeben sind $z_1 = -1-j2 $, $z_2 = -2-j $ , $z_3=-2-2j $ , $z_4 = 1-j $
1. Für welche der angegebenen Zahlen gilt folgende Aussage (auch mehrere möglich!):
(a) Sie hat das kleinste (größte) Argument von allen
(b) Sie hat den kleinsten Betrag von allen
(c) Den größten Abstand zum Punkt $1+j$
(d) Ihr Kehrwert liegt im 1. Quadranten?

Aufgabe 6

Welches Argument und welchen Betrag muss jeweils die Zahl $z$ besitzen, damit die Gleichung gilt? 1. $ (1+j)z = -j $

Weitere Aufgaben








Die folgende Aufgabe behandelt einen Fall der sogenannten Partialbruchzerlegung

und zwar im Reellen und Komplexen. Die Partialbruchzerlegung wird bei der Integration von gebrochen rationalen Funktionen benötigt!





Text 1

Text 2