Gewöhnliche Differentialgleichungen: Modelle

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Differentialgleichungen sind Gleichungen, in denen neben einer Funktion auch deren Ableitung auftritt bzw. Ableitungen auftreten. Sie resultieren daher als Beschreibungsgleichungen aus allen Modellen, in denen ein Zusammenhang zwischen einem Zustand und seiner Änderung in Gleichungsform hergestellt wird.

Geometrisch gesehen sucht man also den Graphen einer Funktion $(x; y(x) ) , x\ge x_0 $ mit einem gegebenen Anfangspunkt $(x_0;y_0)$ und einer Steigung $$ y'(x) = F(y,x) $$ , die an jeder Stelle des Definitionsbereichs bekannt ist.



Man könnte dies näherungsweise numerisch oder graphisch lösen, in dem man sich von einem Punkt des Graphen zu einem anderen auf einem Geradenstück bewegt, dessen Steigung durch den Vorgängerpunkt ja gegeben ist. Dies machen im Prinzip auch die numerischen Näherungsverfahren. In manchen Fällen kann man solche Gleichungen aber auch exakt lösen, Verfahren ab Seite 2. Hier zunächst einiges zu Modellen. Ein einfaches Modell ist zum Beispiel unter Schule/Exponentialfunktion zu finden. Dieses und viele weitere Beispiele sollen hier kurz dargestellt werden. Die systematische Behandlung der Lösungmethoden erfolgt dann im nächsten Kapitel.
Mechanik: Bewegung eines Massepunktes auf einer Geraden.
Wir stellen uns ein Fahrzeug der Masse m vor, das sich unter Einfluss verschiedener Kräfte auf einer Geraden (also eindimensional) bewegt: Es soll eine Motorkraft durch den Antrieb wirken (F 1 ), eine Rollreibung (F 2 ) durch die Räder sowie eine Reibungskraft durch den Luftwiderstand (F 3 ) wirken. Diese Einflüsse zusammen bestimmen das Bewegungsgesetz, das den Ort x(t) des Fahrzeugs zum Zeitpunkt t festlegt. In der Mechanik denkt man sich zur Vereinfachung gerne die Masse in einem Punkt konzentriert (Massepunkt), und so wollen wir es auch in unserem Modell tun. Nick- oder Wankbewegungen des Fahrzeugs kann man damit natürlich nicht erfassen, dazu müsste eine Modellierung mit mehr Dimensionen (Ebene, Raum) erfolgen - ein wesentlich komplizierteres Modell.
Die zeitliche Änderung des Ortes ist bekanntlich die Geschwindigkeit v(t) =x'(t), und die Änderung der Geschwindigkeit wird durch die Beschleunigung a(t)=v'(t) ausgedrückt. Wir haben hier gleich die differentielle Formulierung benutzt.

Dem Genius des Isaac Newton verdanken wir nun die fundamentale Erkenntnis mit der wir das Bewegungsgesetz formulieren können:
Kraft ist Masse mal Beschleunigung (m x''(t)=mv'(t)) und diese Kraft ist gerade die Summe aller auf den Massepunkt einwirkenden Kräfte (Schlagworte: actio gleich reactio, Summe aller Kräfte ist Null, Kräftebilanz), also die Summe aus der Kraft des Motors und der Reibungskräfte. In Gleichungsform geschrieben:
Nun fehlt natürlich noch die konkrete Formulierung der Reibungskräfte, mit der aus unserer Gleichung erst eine Gleichung zur Berechnung der Bewegung wird.
Für die Rollreibung hat sich der Ansatz "proportional zur Geschwindigkeit" (sog. Stokes-Reibung) bewährt. Somit setzen wir mit einer (Reibungs) Konstanten r > 0 :
Das Minuszeichen setzen wir, weil die Reibungskraft entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Für die Reibungskraft durch den Luftwiderstand macht man im Allgemeinen den Ansatz "proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit".
Somit setzen wir mit einer Konstanten p > 0

In die Konstante p > 0; gehen der für jeden Körper experimentell zu bestimmende c_w Wert und die Querschnittsfläche A des Fahrzeugs ein: p=c_w A. Das Minuszeichen wiederum, weil die Reibungskraft entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. Die durch den Motor des Fahrzeugs induzierte Kraft (oder auch die Bremskraft) setzen wir einfach als eine zeitabhängige Funktion f(t) an. Also:
F 1 = f(t) ,
Damit haben wir die folgende Differentialgleichung für die Bewegung des Massenpunktes:
Es ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung, weil darin nur die Funktion v (Geschwindigkeit) und ihre Ableitung auftritt. Jede Bewegung hat einen Anfang, zumindest einen Beobachtungsanfang, zu dem wir eine Anfangsgeschwindigkeit messen. Dies wird durch Setzen eines Anfangswertes zum Zeitpunkt t=0 erfasst:
v(0) = v 0
Zusammen mit der Differentialgleichung ergibt dies ein Anfangswertproblem für die unbekannte Funktion v. Ein Existenzsatz (Satz von Picard Lindelöf) garantiert uns, dass dieses Anfangswertproblem stets genau eine Lösung besitzt. Wie stets in der Mathematik ist damit aber nicht gesagt, wie wir diese Lösung berechnen können. (Der Satz von Picard Lindelöf liefert zwar - was im der Mathematik nicht selbstverständlich ist - im (konstruktiven) Beweis auch ein Näherungsverfahren, es ist aber ein langsames. )

Der freie Fall ist in diesem Modellierungsansatz übrigens auch enthalten. x(t) ist dann die Höhe des fallenden Körpers, dessen Fallbewegung von der Wirkung des Schwerkraftfeldes und der Luftreibung bestimmt wird. Die Rollreibung entfällt, wir setzen also F 2 = 0 .
Die Beschleunigung durch den Motor bzw. die Bremse ersetzt man durch die Kraftwirkung des Schwerkraftfeldes wobei man zwei Fälle unterscheidet:

1. Fall aus geringer Höhe und somit konstante Beschleunigung,auf der Erde somit f(t) = mg .
2. Fall aus großer Höhe: Die Kraftwirkung nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab : f(t) = c/ x 2
In die Konstante c gehen die Massen der Körper ein (Newtonsches Anziehungsgesetz). Hier haben wir ein bisschen gemogelt, um das Problem in unseren Rahmen zu pressen, denn oben war für die Funktion f(t) keine Abhängigkeit von x unterstellt.

Dann gibt es natürlich auch noch den freien Fall im Vakuum, zum Beispiel auf dem Mond, der bekanntlich keine Atmosphäre besitzt:
F 3 = 0 in diesem Spezialfall.


Für einige Spezialfälle der Bewegungsgleichung kann man die zugehörige Differentialgleichung formelmäßig explizit lösen. Für die anderen Fälle kann man nur durch numerische Näherungsverfahren eine Näherungslösung berechnen.

Der einfachste Fall: Konstante Beschleunigung a, keine Reibung. Das Anfangswertproblem lautet nun
und kann nach Kürzen von m einfach aufintegriert werden.
Das Ergebnis ist aus dem Schulunterricht bekannt. Die Bewegung ist unabhängig von der Masse.

Beschleunigung a , nur lineare Reibung, F 3 = 0
Dies ergibt eine lineare inhomogene Differentialgleichung und kann mit einem Standardansatz für diesen Typ gelöst werden.

Konstante Beschleunigung a , keine lineare Reibung, F 2 = 0 (z.B. freier Fall mit Reibung)
Diese Differentialgleichung kann durch die Methode Trennung der Veränderlichen gelöst werden. (Es ist auch eine spezielle Riccati-Gleichung)

Die Abkühlung eines Körpers, am Modell eines Brauchwasserspeichers ausführlich erläutert, führt auf eine separable Dgl der Form $$ {d \over dt } (T_i(t) \cdot m \cdot c_{H_2 O} ) = - O \cdot U \cdot (T_i(t) - T_a) $$ $T_i $ ist die Wassertemperatur im Inneren, $T_a$ die der Umgebungsluft , $O$ die Oberfläche und $U$ der Wärmedurchgang pro $m^2$ und Grad Temperaturdifferenz innen zu außen.

Radioaktiver Zerfall -Radiocarbonmethode mit Lösung

Schwingungsprobleme treten in vielen physikalischen Kontexten auf. Beispiele:
Mechanische Schwingungen :
Federschwingung (lineare Kennlinie der Feder, Hookesches Gesetz gilt ),
linearisiertes Fadenpendel
Saitenschwingung (Gitarre)

Berücksichtigt man in den Modellen auch eine lineare Reibung (Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit),
vgl. etwa Harmonische Schwingung
so folgt aus den Newton'schen Gesetzen eine Beschreibung der Bewegung in Form einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. $$ my''(t) + r y'(t) + ky'(t) = q(t) \quad t\in (t_0;t_1) $$ wobei $q$ eine externe Erregung des schwingenden Systems modelliert. Um die Lösung eindeutig festzulegen, benötigt man noch Anfangs- bzw Randbedingungen, die sich aus dem physikalischen Kontext ergeben. Zum Beispiel:
Anfangswertproblem (AWP): Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit vorgegeben: $y(t_0) = y_0, y'(t_0) = v_0$
Randwertproblem (RWP) : Anfangs- und Endauslenkung gegeben $y(t_0) = y_0, y(t_1) = y_1$ oder Anfangs- und Endgeschwindigkeit gegeben oder Kombinationen aus beiden.

Ein elektrischer Schwingkreis aus Spule und Kondensator führt ebenfalls auf eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (für Spannung U oder Stromstärke i). Etwa $$ LC i''(t) + RC i'(t) + i(t) = 0$$ (i Stromstärke, L Induktivität der Spule, C Kapazität des Kondensators )

Dasselbe mathematische Modell (lineare Dgl 2. Ordnung) beschreibt also mechanische und elektrische Schwingungsphänomene! Lösungsmethode für lineare Dgl. 2 Ordnung hier.

Durchbiegung eines Balkens/Statik



Zur Modellierung der Durchbiegung eines Balkens/Trägers stellt die Statik verschiedene Modelle bereit.
Im einfachsten Fall der linearen Balkentheorie für kleine Verformungen wird die Biegelinie $w(x) $ des verformten Balkens beschrieben durch eine einfache lineare Differentialgleichung 4. Ordnung $$ (EI w''(x))'' = q(x) \quad 0 \lt x \lt l \mbox{ (Länge des Balkens ) } $$ $q(x)$ ist die Dichte der Lastverteilung in der Längsachse (x) des Balkens (Streckenlast), das Produkt EI beschreibt die Biegesteifigkeit E der Elastizitätsmodul (Materialgröße) und I das Flächenträgheitsmoment, eine Größe die von der Querschnittsgeometrie des Balkens abhängt. $$ I = \int_A \int y^2 d(y,z) $$ Im Falle des oben gezeigten Balkens mit rechteckigem Querschnitt A , Breite b, Höhe h, berechnet sich das Flächenträgheitsmoment als einfaches Doppelintegral $$ I = \int_A \int y^2 d(y,z) = \int_{-h/2}^{h/2} \int_{-b/2}^{b/2} y^2 dz dy = { b h^3 \over 12 } $$ In diesem einfachen Modell, bei angenommener Unabhängigkeit der Größen $E$ und $I$ von $x$ (homogenes Material, gleichbleibender Querschnitt über die gesamte Länge) kann man diese als konstant behandeln und einfach viermal hintereinander bezüglich $x$ aufintegrieren, weil nur die 4. Ableitung von $w$ in der Gleichung steht. Dies ist natürlich schon für viele Standardlastverteilungen (konstant, stückweise linear) gemacht worden und vielfach tabelliert, z.B. Bautabellen. Falls $q$ konstant ist, erhält man für $w$ ein Polynom vom Grad 4 $$ w(x) = c_4 x^4 + c_3 x_3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0 $$ wobei die Konstanten $c_k$ durch die statischen Randbedingungen festgelegt werden. In der Baustatik muss unter anderem nachgewiesen werden, dass die Durchbiegung eines Deckenbalkens oder Unterzugs unter Last am tiefsten Punkt (=Minimum der Biegelinie) einen gewissen Schwellenwert (in der Regel $l/300, $ l in cm gemessen ) nicht überschreitet.

Bei axialen (in x-Achse ) Druckkräften benutzt man ein etwas komplexeres Modell, die sogenannte Theorie 2. Ordnung. $$ (EI w''(x))'' + (N w'(x))' = q(x) $$ Hier tritt also die 4. Ableitung von $w$ und, wenn N bezüglich $x$ konstant ist, nur die 2. Ableitung von $w$ auf, man kann also nicht mehr einfach drauflosintegrieren. Aber wenn $N,E, I $ bezüglich $x$ konstant sind, kann man substituieren : $u = w'' $ und die Dgl. geht über in $$ EI u'' + N u = q $$ also eine lineare inhomogene Dgl, Lösung hier. $ w$ erhält man dann durch zweimalige anschließende Integration von $u$ bezüglich $x$ unter Beachtung der statischen Randbedingungen.