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Version vom 4.06.2017.
Ansätze vom Typ der rechten Seite

Exakte Lösung von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung

Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten $ a,b, c \in I\!\! R $ .

$$ L(y) = ay'' (x) + b y'(x) + c y(x) = q(x) , \quad x_0 \lt x \lt x_1 , \quad y(x_0)=y_0, \ y'(x_0)= v_0 $$

Lösungen der homogenen linearen Dgl $ L(y) = 0$: Anfangs- und Randwertprobleme

Wir betrachten zuerst den homogenen Fall $q=0$ und suchen dafür Lösungen.
Kurze Heuristik zum Lösungsansatz. In der Dgl werden erste und zweite Ableitung mit der Funktion $y$ selbst verknüpft. Wie wir gesehen hatten, ist die Lösung einer linearen Dgl 1. Ordnung $ y' = k y $ eine Exponentialfunktion. Andererseits wissen wir, dass die Sinus- und die Kosinusfunktion sich bei zweimalige Ableitung selber reproduzieren, abgesehen von Konstanten: $ (\sin(mx))'' = - m^2 \sin(mx) $ usw. Also liegt es nahe, im Lösungsansatz Exponential- und Trigonometrische Funktion zu kombinieren und damit in die Dgl zu gehen.
Einen eleganten Weg dazu eröffnete Leonhard Euler mit seiner Beobachtung, dass eine komplexwertige Exponentialfunktion als ein Produkt aus der gewöhnlichen Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen geschrieben werden kann, - bzw. sich so verhält. Mit einer solchen Funktion haben wir unseren gesamten Lösungsraum sozusagen einheitlich abgedeckt. $$ \lambda = \alpha + j \beta \in C, \quad e^{\lambda x } = e^{ (\alpha + j \beta) x } = e^{ \alpha x } \cdot e^{ j \beta x } = e^{ \alpha x } ( \cos(\beta x) + j \sin( \beta x) ) = e^{ \alpha x } \cos(\beta x) + j e^{ \alpha x } \sin(\beta x) $$ Die komplexwertige Exponentialfunktion $$ e^{\lambda x } : I\!\!R \to C $$ besteht also aus einer gewöhnlichen reellen multipliziert mit dem komplexen Richtungsvektor (Zeiger, Betrag immer Eins) $ ( \cos(\beta x) + j \sin( \beta x) ) .$ Sie lässt sich wie gezeigt in Real- und Imaginärteil zerlegen.
Eine weitere einfache Beobachtung. Da die Differentialgleichung linear ist, ist jede Linearkombination von Lösungen dieser Differentialgleichung wieder eine Lösung. In der Physik (Schwingungslehre) nennt man dies Überlagerungsprinzip oder Superpositionsprinzip. . Wer ein Instrument spielt, weiß von den Oberschwingungen (das sind Lösungen der Schwingungsgleichung mit höherer , doppelter, dreifacher usw Frequenz) die sich zum Grundton gesellen, und diesen erst angenehm rund hörbar machen -im Gegensatz zu einem reinen, als Piepsen empfundenen Sinuston, wie ihn die frühen Quarzuhren z.B. als Wecksignal hatten.

Mathematisch formuliert: Sind $y_1 ,y_2 $ Lösungen der linaren homogenen Dgl $L(y) = 0 $ , dann ist auch $ y= c_1y_1 + c_2 y_2 $ eine Lösung dieser Dgl für beliebige reelle Zahlen $c_1, c_2 $. Man sieht dies wegen der Linearität von $L$ direkt durch Nachrechnen über die Differentiationsregeln ein: $$ L(c_1 y_1 + c_2 y_2 ) = a( c_1 y_1 + c_2 y_2 )'' + b (c_1 y_1 + c_2 y_2 )' + c (c_1 y_1 + c_2 y_2 ) = c_1 (a y_1'' + b y_1' + c y_1) + c_2 (ay_2'' + by_2' + cy_2) = c_1 L(y_1) + c_2 L(y_2 ) = 0 $$ Das überträgt sich auch auf komplexe Linearkombinationen, wie man an der Gleichung sieht. Wir werden dieses Prinzip auch später noch benötigen. Die komplexwertige Exponentialfunktion ist nun eine (komplexe ) Linearkombination der Anteile $$ e^{ \alpha x } \cos(\beta x) \mbox{ und } e^{ \alpha x } \sin( \beta x) ) $$ und überdies sieht man durch Differentiation ihres Real- und Imaginärteils mit der Produktregel (kleine Zwischenrechnung) nach $x$ dass $$ ( e^{\lambda x } )' = \lambda e^{\lambda x } $$ gilt. Anmerkung: Wir haben hier nur reelle Differenzierbarkeit der Funktion $ \exp : I\!\!R \to C $ bezügl. der reellen Variablen $x$ benutzt. Die komplexe Differenzierbarkeit der Funktion $ \exp : C \to C $ wäre viel weitgehender (komplexe Analysis). Noch eine letzte einfache Beobachtung: Offenbar löst die Nullfunktion $ y=0$ auch die lineare homogene Dgl. $L(y) = 0$ Diese spezielle Lösung erfüllt aber auch nur die speziellen Anfangsbedingungen $ y(x_0) = 0 = y'(x_0) $, ist also die (eindeutige) Lösung eines Problems bei dem physikalisch "nichts passiert" (Pendel bleibt in Ruhelage z.B.) - soll uns also nicht weiter beschäftigen.
Wir setzen also den Ansatz $$ y(x) = e^{\lambda x } , \quad y'(x) = \lambda e^{\lambda x } , \quad y''(x) = \lambda^2 e^{\lambda x } $$ in die Differentialgleichung ein und versuchen, $\lambda $ so zu bestimmen, dass sie erfüllt ist. $$ L(e^{\lambda x }) = a \lambda^2 e^{\lambda x }+ b \lambda e^{\lambda x } + c e^{\lambda x } = ( a \lambda^2 + b \lambda + c) e^{\lambda x } = 0. $$ Da $$ e^{\lambda x } \ne 0 $$ muss also, damit die Dgl erfüllt ist, $$ a \lambda^2 + b \lambda + c = 0 $$ sein. Das Polynom heißt auch charakteristisches Polynom.
Wir haben also die Lösungssuche für die Differentialgleichung auf ein uns wohlbekanntes algebraisches Problem, die Nullstellenberechnung eines Polynoms reduziert. Bekanntlich gibt es, abhängig vom Vorzeichen der Diskriminante , $ D = b^2 - 4ac $ drei mögliche Fälle.
In jedem dieser Fälle erhalten wir zwei linear unabhängige Lösungen $y_1, y_2 $ der Dgl $ L(y) =0 $, das sogenannte Fundamentalsystem (FS)
$$ D \gt 0 \quad \lambda_{1,2 } = {-b \pm \sqrt{D} \over 2a } \mbox { reell, FS: } \quad y_1(x) = e^{\lambda_1 x } , \quad y_2(x) =e^{\lambda_2 x } $$ $$ D = 0 \quad \lambda_1 = \ \lambda_2 = {-b \over 2a } \mbox { reell, FS: } \quad y_1(x) = e^{\lambda_1 x } , \ y_2(x) =x e^{\lambda_1 x } $$ $$ D \lt 0 \quad \lambda_{1,2 } = {-b \pm j \sqrt{-D} \over 2a } = \alpha \pm j \beta, \ \mbox { nicht reell, FS: } \alpha= {-b \over 2a } , \ \beta = {\sqrt{-D} \over 2a } , \quad y_1(x) = e^{\alpha x} \cos(\beta x) , \ y_2(x) = e^{\alpha x} \sin(\beta x) $$ Damit ist der Lösungsraum der homogenen linearen Dgl $L(y)$ vollständig beschrieben - es ist die Menge aller Linearkombinationen der beiden Funktionen $ y_1, y_2 $ des Fundamentalsystems. $$ y_h = c_1 y_1 + c_2 y_2, \quad c_1, c_2 \in I \!\!R $$ Welche Linearkombination man wählen muss, wird durch vorgegebene Anfangs- oder Randbedingungen weiter festgelegt.

SATZ: Das Anfangswertproblem $ L(y) = 0, y(x_0) = y_0 , y'(x_0) = v_0 $ ist stets eindeutig lösbar.

Die oben genannten Randwertprobleme sind hingegen nicht immer lösbar. Man muss das jeweils durch Lösung des entprechenden Gleichungssystems untersuchen. Wir diskutieren das an einem Beispiel mit physikalischem Kontext, dem Federpendel.
Modell siehe hier.
bzw hier


Einschub: Physikalisches Modell einer mechanischen Schwingung mit linearer Reibung (Dämpfung)

Die Differentialgleichung und die "Übersetzung" in unseren Rahmen einer mechanischen Schwingung:
$x=t $ (Zeit)
$a = m \gt 0 $ schwingende Masse
$ b=r \gt 0 $ lineare Reibung /Dämpfung
$ c =k \gt 0 $ Federkonstante (die Federkennlinie, die die Auslenkung in Abhängigkeit der Kraft beschreibt, ist also eine Gerade)
$ y(t) = y(x) $ Auslenkung aus der Ruhelage zum Zeitpunkt $t$. (In der physikalischen Literatur findet man in der Regel $x(t)$ statt $y(t)$)
$ x_0= t_0 = 0$ Anfangszeitpunkt.

Die Differentialgleichung lautet dann: $$ my''(t) + r y'(t) + k y(t) = 0 $$ Das Anfangswertproblem gibt die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit vor. $$ y(0) = y_0 , \quad y'(0) = v_0 . $$ Für den Fall $ y_0 = 0 = v_0$ hatten wir oben schon gesehen, dass nur die Nulllösung $y=0$ in Frage kommt, wie man es auch erwarten würde. Das System bleibt in der Ruhelage. Es sei also im folgenden : $ |y_0| + |v_0|> 0 . $
Wir untersuchen zunächst den Fall kleiner Reibungen, also schwache Dämpfung :
Kleine Reibung $r$, dann: $ D = r^2 - 4mk \lt 0$ , somit ergibt sich das Fundamentalsystem $$ y_1(t) = e^{\alpha t} \cos(\beta t) , \quad y_2(t) = e^{\alpha t} \sin(\beta t), \quad \alpha = {-r \over 2m } , \ \beta= {\sqrt{4mk - r^2 } \over 2m } $$ Allgemeine Lösung der Dgl $ L(y) = 0$ : $$ y(t) = c_1 y_1(t) + c_2 y_2(t) = e^{\alpha t} ( c_1 \cos(\beta t) +c_2 \sin( \beta t) ) $$ Zur Bestimmung der Lösung des AWP ist $c_1, c_2 $ noch aus den Anfangsvorgaben zu ermitteln.
Anmerkung: In der Physik heißt $\omega_e:= \beta = {\sqrt{4mk - r^2 } / 2m } $ auch Eigenfrequenz des gedämpften Systems, und für $r=0$ bezeichnet $\omega_0 = \sqrt{ k/m } $ die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems, $\delta = r/2m $ heißt Abklingkonstante. Offenbar gilt die Beziehung $ \omega_e^2 = \omega_0^2 - \delta^2 .$

Zwei einfache Fälle als Beispiele:
1. Fall: Anfangsgeschwindigkeit Null, Anfangsauslenkung ungleich Null: $$y(0) = y_0 \ne 0 \qquad y'(0) = 0 $$ Das heißt, man zieht die Feder langsam etwas an (Anfangsauslenkung), hält sie kurz in der Position fest , gibt also eine Anfangsauslenkung $ \ne 0 $ und Anfangsgeschwindigkeit Null vor, und lässt sie dann los.
Wir setzen die Anfangswerte ein und beachten $ \sin(0) = 0, \cos(0) =1 $ $$ 0 = y'(0) = c_1 y_1'(0) + c_2 y_2'(0) = \alpha(c_1 + 0) + c_2 \quad y_0 = y(0) = 1( c_1 + 0) \Rightarrow c_1= y_0 , c_2= - \alpha c_1 = - \alpha y_0 $$ Durch eine Überlagerung einer gedämpften Sinus und Kosinusschwingung mit den berechneten Koeffizienten $c_1, c_2 $ können wir also das gewünschte Anfangswertszenario erfüllen. $$ y(t) = y_0 e^{\alpha t} ( \cos(\beta t) - \alpha \sin( \beta t) ) \mbox{ löst AWP } L(y) =0, \ y(0) = y_0 \ne 0, y'(0) = 0 $$ 2. Fall: Anfangsauslenkung Null, Anfangsgeschwindigleit ungleich Null: $$ y(0) = 0 \qquad y'(0) = v_0 \ne 0, $$ Diese Situation würde bedeuten:
Man schubst die Feder , bzw die Masse aus der Ruhelage an, gibt der Masse also eine Anfangsgeschwindigkeit $v_0$, aber keine Anfangsauslenkung. Oder man beginnt mit der Betrachtung erst beim Durchlauf durch den Ruhepunkt, nachdem man die Schwingung vorher angeregt hatte. Auch hier werden die Anfangswerte einfach eingesetzt: $$ 0 = y(0) = c_1 , \quad v_0 = \alpha c_1 + c_2 = c_2 $$ Lösung also hier reine gedämpfte Sinusschwingung, wie man es aufgrund der Anfangsbedingung $y(0) = 0$ auch erwarten würde. $$ y(t) = v_0 e^{\alpha t} \sin( \beta t) $$
Aufgrund der Überlagerungsprinzips kann man nun jede Lösung eines Anfangswertproblems mit vorgegebener Auslenkung und Geschwindigkeit an $t=0$ aus den beiden eben berechneten Lösungen additiv zusammensetzen. Die Funktion $$ y = y_0 e^{\alpha t} ( \cos(\beta t) - \alpha \sin( \beta t) ) + v_0 e^{\alpha t} \sin( \beta t) $$ löst das AWP $$ L(y) = 0 \qquad y(0) = y_0 , \ y'(0) = v_0 $$

Im Bild sieht man gut das exponentielle Abklingen der Schwingung durch eine kleine lineare Reibung.



Wir wollen uns nun davon überzeugen, dass die Randwertprobleme nicht immer eine Lösung besitzen. Geben wir die Bedingung $ y(0) = 0 $ vor, so hatten wir gerade eben berechnet, dass dann $ c_1=0$ sein muss, somit die Lösung vorab schon einmal so aussehen muss: $$ y(t) = c_2 e^{\alpha t} \sin( \beta t) $$ Damit ist dann aber klar, dass für jeden Zeitpunkt $t = n \pi / \beta, n\in N $ die Lösung $y$ eine Nullstelle hat: $$ y( \pi / \beta) = c_2 e^{\alpha n \pi / \beta } \sin( n \pi ) = 0 $$ somit ist dort sicher keine Randvorgabe mit einer Auslenkung ungleich Null erfüllbar. Anders gesagt: Alle Randwertprobleme der Form $ y(0)=0, y( n \pi / \beta ) \ne 0 $ sind z.B. nicht lösbar. Zu anderen Zeitpunkten $t_1 \ne n \pi / \beta $ können wir natürlich Randvorgaben des Typs $ y(0) = 0, y(t_1 ) \ne 0 $ machen und $c_2$ berechnen, da der Sinus dort ungleich Null ist. Wir könnten an den Nulldurchgängen auch eine Geschwindigkeit $v_0 $ vorgeben, derartige Probleme wären auch wieder lösbar.

Der aperiodische Grenzfall $ D = r^2 - 4mk = 0$. Die allgemeinen Lösungen der Dgl sind von der Form $$ y(t) = (c_1 + c_2 t) e^{\alpha t } , \quad \alpha= {-r \over 2m } $$ Man sieht an den Bildern , dass die Lösung nach kurzem "Überschwingen" bedingt durch den Anteil $x\exp() $ gegen die Null "kriecht".


Starke Dämpfung $D = r^2 - 4mk \gt 0 $ Die allgemeinen Lösungen der Dgl sind von der Form $$ y(t) = c_1 e^{\lambda_1 t } + c_2 e^{\lambda_2 t } , \quad \lambda_{1,2 } = {-r \pm \sqrt{D} \over 2m } $$ Der Exponent ist in beiden Funktionen negativ, denn $ r^2 \gt D $. Die Lösung besteht also nur aus exponentiell abklingenden Anteilen. Mit einem physikalischen Experiment kann man dies simulieren, indem man die Federmasse in einer Flüssigkeit mit ausreichend hoher Viskosität bewegt.

Keine Dämpfung Ist mit $ r=0 $ im ersten Fall enthalten, mit dem Fundamentalsystem $ y_1(t) = \cos(\beta t), y_2(t) =\sin(\beta t) $ und kann je nach Anfangsbedingung als Überlagerung einer Sinus- und Kosinusschwingung geschrieben werden. Mit einem Additionstheorem kann man sie auch als (Phasen)verschobene Sinusschwingung darstellen.

Allgemein: Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: L(y) = q

Zunächst wieder eine einfache Beobachtung: Hat man schon eine spezielle Lösung $y_s$ der inhomogenen Gleichung $L(y_s) = q$, so ist die allgemeine Lösung wieder gegeben durch die Summe der Lösungen der homogenen Gleichungen und der speziellen Lösung : $$ y = c_1y_1 + c_2 y_2 + y_s \mbox{ löst } L(y) = q \mbox{ denn } L(y) = c_1 L(y_1) + c_2 L(y_2) + L(y_s ) = 0+0+q = q $$

Das Lösungsrezept für ein AWP der Form $$ L(y) = q , \quad y(x_0) = y_0, \ y'(x_0) = v_0 $$ lautet also:
1. Löse die homogene Dgl. $L(y) =0$ zur Bestimmung des Fundamentalsystems $y_1, y_2 $ (Lösungen der homogenen Dgl)
2. Finde eine spezielle Lösung $y_s$ der inhomogenen Dgl $L(y_s) = q$ durch Raten oder "Ansatz vom Typ der rechten Seite, s.u." )
3. Lösung AWP: Mache den allgemeinen Lösungsansatz $ y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + y_s $ und bestimme dann die Koeffizienten $c_1, c_2 $ aus den Anfangsbedingungen $ y(x_0) = y_0, y'(x_0) = v_0 $

Bestimmung der speziellen Lösung $y_s $ durch einen Ansatz vom Typ der rechten Seite. $$ L(y) = q \mbox { Konstante } \qquad \mbox { Ansatz: } y_s(x) = d \mbox{ Konstante, einsetzen: } L(d) = ad'' + b d' + cd = 0+0+cd = q \Rightarrow d = q/c $$ Analog geht das auch allgemeiner:
$ q $ Polynom vom Grad $n $, Ansatzfunktion $y_s$ ebenfalls Polynom vom Grad n, Einsetzen in Dgl und Koeffizientenvergleich.

Der Ansatz "vom Typ der rechten Seite " funktioniert mit Modifikationen im Prinzip auch immer für Exponential- und trigonometrische Funktionen in der rechten Seite:

Einfaches Beispiel: $$ y'' + 2y' + 2y = 3\sin(2x) = q $$ Nullstellen des charakteristischen Polynoms somit $ \lambda_{1,2} = -1 \pm j 1 .$
Fundamentalsystem (Lösungen der homogenen Dgl) ist demnach: $$ y_1 = \exp(-x) \cos( x ) \qquad y_2 = \exp(-x) \sin(x ) $$ Ansatz vom Typ der rechten Seite: $$ y_s(x) = a \cos(2x) + b \sin(2x) $$ Einsetzen in Dgl und Koeffizientenvergleich: $$ y'' + 2y' + 5y = -4a\cos(2x) - 4b \sin(2x) - 4a \sin(2x) + 4b \cos(2x) + 5a \cos(2x) + 5b \sin(2x) = 3\sin(2x) + 0 \cos(2x) $$ Koeffizientenvergleich (Sinus und Kosinus sind linear unabhängig) ergibt dann die Gleichungen $$ -4a + 4b + 5a =0 \qquad -4b -4a + 5b = 3 $$ Somit $ a= -12/17 , b = 3/17 . $ $$ y_s = {-12\over 17 } \cos(2x) + {3 \over 17 } \sin(2x) , \quad y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + y_s $$
Man sieht, dass es hier nicht genügt, einfach nur den Sinus der rechten Seite als Ansatz zu nehmen, denn in der ersten Ableitung $y'$ ensteht ein Kosinusterm, der sonst stehenbliebe. Nur wenn keine Reibung vorliegt, also eine einfache DGl der Form $$ y'' + p^2y = d \sin(\omega x) , \quad p\ne \omega $$ vorliegt, dann genügt auch der einfache Ansatz $ y_s = a \sin(\omega x) $ (Einsetzen, a bestimmen = Übung)

Resonanzfall: Ist die rechte Seite eine Linearkombination des Fundamentalsystems, so kommt man mit dem direkten Ansatz nicht weiter, denn beim Einsetzen in die Dgl erhält man ja die rechte Seite Null.

Beispiel - dieselbe homogene Dgl wie eben, nur eine andere rechte Seite: $$ y'' + 2y' + 2y = \exp(-x) \sin( x ) $$ Hier müssen wir für die spezielle Lösung den Ansatz $$ y_s = x ( a \exp(-x) \sin( x) + b \exp(-x) \cos ( x) ) $$ machen, in die Dgl einsetzen und dann Koeffizientenvergleich durchführen. Ergebnis: $ a= 0, b=-1/2 $ $$ y_s(x) = -{1 \over 2 } x \exp(-x) \cos(x) $$ Die allgemeine Lösung der Dgl ist somit $$ y(x) = \exp(-x) ( c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) -0,5x\cos(x)) $$

Sonderfall: Doppelte Nullstelle im char. Polynom und rechte Seite gerade vom Typ "Fundamentalsystem ".
Beispiel: $$ y'' + 2 y' + y = \exp(-x) $$ Fundamentalsystem: $$ y_1 = \exp(-x), \quad y_2 = x \exp(-x) .$$ Hier wären die Ansätze $ y_s = \exp(-x), $ oder $y_s = x \exp(-x),$ nicht zielführend, denn eingesetzt in die Dgl ergibt sich Null. Also nimmt man den Ansatz $$ y_s( x) = ax^2 \exp(-x) $$ setzt ihn in die Dgl ein und führt Koeffizientenvergleich durch.
Analog geht das genauso, wenn die rechte Seite Produkt aus Exponential- und Kosinusfunktion ist.


Lösung des inhomiogenen Gleichung über einen komplexen Ansatz

Die Einzelfallbetrachtungen kann man auch elegant in einem einzigen komplexen Ansatz zusammenfassen. Die Ausführung der Rechnung im Detail setzt allerdings dann auch eine gewisse Übung beim Rechnen mit komplexen Zahlen voraus. $$ q = Re ( \exp(\lambda^* x ) ) \quad \mbox{ bzw } Im ( \exp({\lambda^* x }) ) \quad \lambda^* = \alpha^* + j \beta^* $$ Beispiele:
$ q(x) = \sin(3x) = Im( \exp(0 + 3jx ) ) ,\ \lambda^* = 0 +3j $
$ q(x) = \exp(-7x)\cos(11x) = Re(\exp( (-7 + 11j) x ) ) , \ \lambda^* = -7 +11j $
Mit diesem Ansatz über die komplexe Exponentialfunktion kann man also reelle Exponential- und triginonometrische Funktionen und deren Produkte erfassen!

Inhomogene Dgl: $$ L(y) = ay'' + b y' + c y = q $$ Nullstelle(n) des charakteristischen Polynoms sei(en) $ \lambda_1, \lambda_2 $

1. Fall: $ \lambda_1, \lambda_2, \lambda^* $ sind paarweise verschieden:
Ansatz (evtl mit komplexem ) Koeffizienten $p$ : $$ y_s( x) = Re ( p \exp({\lambda^* x }) ) \quad \mbox{ bzw } y_s = Im ( p \exp({\lambda^* x } ) ) $$ Hierin sind zugleich auch die Fälle rein reeller, paarweise verschiedener $\lambda$ enthalten!

2. Fall: $ \lambda_1, \lambda_2, $ sind verschieden aber $\lambda^* = \lambda_1 $ oder $\lambda^* = \lambda_2 $
Ansatz $$ y_s = x Re( p \exp({\lambda^* x }) ) \mbox{ bzw } y_s = Im ( p \exp({\lambda^* x } ) ) $$ 3. Fall: $ \lambda_1= \lambda_2 = \lambda^* $ zwangsläufig alle reell, Absatz:
$$ y_s = x^2 Re( p \exp({\lambda^* x }) ) $$ Der Koeffizient $p$ ist jeweils durch Koeffizientenvergleich zu bestimmen!


Dieser komplexe Ansatz kann in natürlicher Weise erweitert werden, für rechte Seiten, die Produkte von Polynomen , Exponentialfunktionen und trigonometrische Funktionen sind: Ist die rechte Seite etwa mit einem Polynom $P_n$ vom Grad $n$ gegeben als $$ q(x) = Re ( P_n(x) \exp(\lambda^* x ) ) $$ so macht man je nach Fall mit einem zu bestimmenden Polynom $P^*_m $ den Ansatz $$ y_s = Re( P^*_m(x) \exp(\lambda^* x ) ) $$ wobei der Grad $m$ des Ansatzpolynoms $P^*_m $ analog zu unseren 3 oben betrachteten Fällen zu wählen ist: $m=n $ im 1. Fall, $m=n+1$ im 2. Fall und $m=n+2$ im 3. Fall.

Reelle Ansätze vom Typ der rechten Seite $q$ für die Lösung der inhomogenen Dgl.

Die Idee: Man macht für $y_s$ einen Ansatz vom Typ der rechten Seite, setzt diesen in die Dgl. ein und führt einen Koeefizientenvergleich durch. Der Vorteil dabei: Man kann rein reell rechnen. Der Nachteil: Die Rechnung verlangt viel Differenzieren, 2. Ableitungen sind zu berechnen.
Die einfachsten Fälle sind rechte Seiten, die aus nur aus Polynomen bestehen. Als Ansatz für die spezielle Lösung der inhomogenen Dgl nimmt man ein allgemeines Polynomen vom selben Grad , setzt dieses in die Dgl und führt einen Koeffvgl. durch. $$ L(y) = y'' - 2y' + 2 y = 4x^2 - 1, \qquad \mbox{Ansatz: } y_s = a + bx + cx^2 $$ $$ y_s' = b+ 2cx, \ y_s'' = 2c, $$ einsetzen in Dgl und Koeffvgl. mit rechter Seite durchführen liefert $$ 2c -2b + 2a = -1 , -2c + 2b = 0, 2c = 4 \Rightarrow c=2 =b, a= -1/2 $$ Die Allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl erhält man wieder aus Überlagerung einer speziellen Lösung mit der Lösung der homogenen Dgl: $$ y = y_h + y_s , \quad y_h = c_1 y_1 + c_2 y_2 = c_1\sin(x)e^x + c_2 \cos(x) e^x . $$ Allgemeine Lösung ist damit $$ y(x) = y_h + y_s = c_1\sin(x)e^x + c_2 \cos(x) e^x - {1\over 2 } + 2x + 2x^2 $$ Komplizierter wird das Bestimmen einer speziellen Lösung der imhomogenen Dgl. bei "Wechselwirkungen" der rechten Seite mit dem Fundamentalsystem, also den Lösungen der homogenen Dgl. Wir erläutern dies an einigen Beispielen. Dabei verwenden wir in der rechten Seite Gründen der Vergleichbarkeit immer eine Exponentialfunktion, bzw. ein Produkt aus Exponentialfunktion und Polynom. Für Sinus- und Kosinusfunktionen geht wieder alles ganz analog. Das Grundprinzip ist immer : Wähle ein Polynom $P(x)$ und mache einen Ansatz der Form "modifizierte rechte Seite". $$ y_s(x) = P(x) \exp( s x) $$ aber wie wählt man das Polynom?

Beispiel 1a: $$ L(y) = y'' - 16 y = 7e^{3x} =q, \quad y_h = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x} , \quad \mbox{Ansatz:} y_s = ce^{3x} $$ Diesen einfachen Ansatz können wir machen, weil $q$ nicht zum Fundamentalsystem gehört, also nicht die homogene Dgl. löst. Einsetzen in die Dgl. und Koeffizientenvergleich bzw Kürzen mit $e^{3x} $ liefert: $9c -16 c = 7 $ also $ c=-1 , y_s = -e^{3x} $.
Analog für jede andere rechte Seite, die nichts mit dem Fundamentalsystem zu tun hat.
Beispiel 1b


Beispiel 2: $$ L(y) = y'' - 16 y = 2e^{4x} = q , \quad y_h = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x} , \quad \mbox{Ansatz: } y_s = bxe^{4x} $$ Den einfachen Ansatz vom Beispiel 1 können wir hier nicht verwenden, da er in die Dgl. eingesetzt Null ergibt, mithin nicht die gewünschte rechte Seite liefern kann. Wir modifizieren den Ansatz aus Beispiel 1 daher multiplikativ mit einem Polynom vom Grad 1. Normalerweise wäre dieser Ansatz $ y_s= (a+bx) e^{4x} $. Da jedoch $ e^{4x} $ zum FS gehört, ist $ L (ae^{4x}) = 0$. Diesen Anteil kann man also auch gleich weglassen, da er eingesetzt sowieso wieder Null ergibt. $$ y_s' = b(e^{4x} + 4x e^{4x}) , \qquad y_s'' = b(8e^{4x} + 16x e^{4x} ) $$ Einsetzen in Dgl und Koeffizientenvergleich: $$ b(8e^{4x} + 16x e^{4x} ) - 16b xe^{4x} = 2e^{4x} \Longrightarrow b = { 1\over 4} $$

Beispiel 3: $$ L(y) = y'' - 16 y = 6xe^{2x} = q, \quad y_h = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x} , \quad \mbox{Ansatz: } y_s = (a+ bx) e^{2x} $$ Hier können wir wie in Beispiel 1 einfach wieder die rechte Seite $q$ der inhomog. Dgl als Ansatz für $y_s$ nehmen, da $q$ (und auch dessen Exponentialanteil) nicht zum Fundamentalsystem gehört. Differenzieren mit der Produktregel: $$ y_s' = be^{2x} + 2(a+ bx) e^{2x} , \quad y_s'' = 4b e^{2x} + 4(a+ bx) e^{2x} $$ Einsetzen in die Dgl und Koeffvgl. $$ y_s'' -16 y_s = 4b e^{2x} + 4(a+ bx) e^{2x} - 16 (a+ bx) e^{2x} = 6xe^{2x} $$ $$ \Rightarrow 4b + 4(a+bx) - 16(a+bx) = 6x \quad 4b -12 a = 0, -12 b = 6, b= -1/2, a = -1/6 $$
Beispiel 4: $$ L(y) = y'' - 16 y = xe^{4x} = q, \quad y_h = c_1 e^{4x} + c_2 e^{-4x} , \quad \mbox{Ansatz: } y_s = ( bx+ cx^2 ) e^{4x} $$ Wie kommt man auf diesen Ansatz? Wenn man keine Hintergrundtheorie zur Verfügung hat, durch Probieren. Einen Term $ae^{4x} $ muss man nicht ansetzen, denn $L(ae^{4x}) =0 $ , bringt also keinen Beitrag zur rechten Seite. Das gilt auch für Polynome höherer Ordnung, die den Term enthalten z.B. $ (a + bx + cx^2 ... ) \exp( 4x) $ usw - Stichwort Linearität, Überlagerungsprinzip. $$ L ( (a + bx + cx^2) e^{4x} ) = L ( a e^{4x} ) + L ( (bx + cx^2) e^{4x} ) = 0 + L ( ( bx + cx^2) e^{4x} ) $$ man kann $ae^{4x} $ hier also immer außer Betracht lassen.
Der Ansatz $ y_s = bx e^{4x} $ bringt einen auch nicht weiter - testweise einmal selber in Dgl einsetzen- Terme mit $xe^{4x} $ ergeben Null auf der linken Seite. Also probiert man es eine x-Potenz höher. Dieser Ansatz ist zielführend. Differenzieren, Einsetzen, Koeffizientenvergleich ergibt dann $$ y_s = \left( -{1\over 64 } x + { 1\over 16 } x^2 \right) e^{4x} $$
Beispiel 5: (Char. Polynom hat doppelte reelle Nullstelle) $$ L(y) = y'' - 2 y' + y = q , \quad y_h = c_1 e^{x} + c_2 x e^{x} , $$ Für $ q= e^x $ versagt jeder Ansatz der Form $ (a+bx)e^x $ denn $ L( (a+bx)e^x) =0$. Wir müssen also den Grad des Polynoms noch größer wählen. $ y_s = cx^2 e^x $ leistet hier das Gewünschte. Einsetzen in Dgl und Koeff.vgl ergibt $$ q= e^x , \quad y_s = cx^2 e^x, \quad \mbox{ Einsetzen, Koeffvergleich: } y_s = { 1\over 2 } x^2 e^x $$ Für $q=x e^x $ funktioniert dieser einfache Ansatz wieder nicht mehr. Wir müssen den Grad des Polynoms wieder um eines erhöhen: $$ q=x e^x : \mbox{Ansatz: } y_s = ( cx^2+ dx^3 ) e^{4x}, \quad \mbox{Einsetzen, Koeffvergleich: } y_s = { 1\over 6 } x^3 e^x $$
Dieses Verfahren funktioniert ganz analog für rechte Seiten, die Produkte aus trigonometrischen Funktionen und Polynomen sind. Also z.B. $$ q= (2x+1)\sin(x), \quad q=x^3 \cos(\omega x) $$ usw. und Summen solcher Funktionen durch Überlagerung. Hier ist allerdings eine Besonderheit zu beachten.

Für die Differentialgleichung $$ y'' +4y = \sin(3x) $$ kann man zur Berechnung der speziellen Lösung den einfachen Ansatz $ y_s = a \sin(3x) $ benutzen.
Für die Differentialgleichung $$ y'' -2y' +2y = \sin(3x) $$ (oder allgemein jede die die erste Ableitung enthält) muss man dagegen den allgemeineren Ansatz $$ y_s = a \sin(3x) + b \cos(3x) $$ verwenden, um einen Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite durchführen zu können. Also immer Sinus und Kosinus in den Ansatz aufnehmen, auch wenn rechts nur einer der beiden steht. Mit $ y_s = a \sin(3x) $ kommt man nicht weiter. Nachrechnen! Man sieht also: Im oben dargestellten komplexen Ansatz stecken viele reelle Einzelfälle.
Weitere allgemeine Ansätze zur Lösung inhomogener Dgl. höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten sind im Buch von Burg/Haf/Wille, Mathematik für Ingenieure, Band III, Kapitel 3.1, B.G. Teubner/Stuttgart unter "Operatorenmethode " und "Greensche Funktion" nachzulesen.

Rechte Seite q ist eine Summe verschiedener Funktionstypen

Hier genügt ein Beispiel zur Erläuterung der Methode: $$ y'' -16y = e^x + x^2 + \sin(x) $$ Löse die inhomogenen Gleichungen $$ y'' -16y = e^x , \quad y'' -16y = x^2 , \quad y'' -16y = \sin(x) $$ separat und addiere dann die Lösungen. Diese Summe ist Lösung der Ausgangsdifferentialgleichungen. Linearität der Dgl, Überlagerungsprinzip.