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Integration von Funktionen in zwei reellen Variablen

Stand 23.6.2016
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Berechnung eines Gebietsintegrals

$ G \subset I\!\! R^2 $ sei immer eine messbare Teilmenge, $ f : G \to R $ eine integrierbare Funktion. Wir geben verschiedene Möglichkeiten an, das Integral von $f$ über $G$ auf zwei gewöhnliche (sog. iterierte) Integrale zurückzuführen und so zu berechnen. $$ \int_G f(x,y) d(x,y) \qquad \mbox{ Notation oft auch: } \int\!\int\limits_{\! \! \! G} f(x,y) d(x,y) $$ Interpretation: Dieses Integral ist der Rauminhalt unter dem Graphen von $z=f(x,y)$ über der Menge $G$.


Beispiel (siehe dazu auch Analysis im $R^2 $ )
$$ f(x,y) = x^2 + y^2 \qquad (x,y) \in G = [-2;2] \times [-2;2] $$ Geplottet wurde über dem Rechtecksgebiet $G : -2 \le x \le 2, -2 \le y \le 2 $ also $ G = [-2;2] \times [-2;2] $. Grün ist die "Unterseite" des Graphen.
Das Integral $ \int_G f(x,y) d(x,y) $ ist der Rauminhalt des Körpers, der nach unten von $G$ in der $(x,y)$-Ebene begrenzt wird, und nach oben vom Graphen von $f$.


Berechnung für Rechteckgebiet

Einfache Berechnung ist möglich im Falle eines rechteckigen Gebietes $ G = [a;b] \times [c;d] $
$$ \int_G f(x,y) d(x,y) = \int_a^b \Big(\int_c^d f(x,y) dy \Big) \ dx = \int_c^d \Big(\int_a^b f(x,y) dx \Big) dy $$ Zuerst wird immer das innere Integral berechnet, dabei die nicht zu integrierende Variable wie eine Konstante behandelt, dann das äußere Integral.
Die hier einfach unterstellte Vertauschbarkeit der Integrationsreihenfolge ist an (schwache) Voraussetzungen für $f$ geknüpft, die im Satz von Fubini in der Maß- und Integrationstheorie präzisiert werden.
Für obiges Funktionsbeispiel $ f = x^2 + y^2 $ (stetige Funktion) sind sie erfüllt. $ G = [a;b] \times [c;d] $ $$ \int_G f(x,y) d(x,y) = \int_{[a;b] \times [c;d] } x^2 + y^2 d(x,y) = \int_a^b \Big(\int_c^d x^2 + y^2 dy \Big)\ dx $$ $$ = \int_a^b \Big( yx^2 + { 1 \over 3 } y^3 \Big|_ {y=c}^{y=d} \Big) dx = \int_a^b \Big( (d-c) x^2 + { 1 \over 3 } (d^3- c^3) \Big) \ dx = { 1\over 3 } \Big( ( d-c) (b^3-a^3) + (b-a) (d^3- c^3 ) \Big) $$ Die jeweils nicht zu integrierende Variable wird also als Konstante behandelt. Dasselbe Ergebnis hätten wir auch bei umgekehrter Integrationsreihenfolge erhalten.

Berechnung für x-projezierbare oder y-projezierbare Menge

y-projezierbare Menge
$$ G= \{ (x,y) \in I \!\! R^2 | x\in [a;b], \ y_1(x) \le y \le y_2(x) \} $$ $$ \int_G f(x,y) d(x,y) = \int_a^b \Big( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy \Big) \ dx $$ Beispiel: $$ f(x,y) = x^2 + y^2, \quad y_1(x) = x^2 -1 , \ y_2(x) = 1-x^2 $$ $$ G = \{ (x,y) \in I \!\! R^2 | x\in [a;b], \ x^2 -1 \le y \le 1-x^2 \} $$ Hier ergäbe $ a= -1, b=1 $ gerade die gesuchte Menge zwischen den Parabeln. $$ \int_G f(x,y) d(x,y) = \int_{a}^b \Big( \int_{x^2 -1 }^{1-x^2 (x)} x^2 + y^2 dy \Big) \ dx $$ $$ = \int_a^b (x^2 -1 - (1-x^2) ) x^2 + {1 \over 3 } ( (x^2-1)^3 - (1-x^2)^3) dx $$


x-projezierbare Menge
$$ G= \{ (x,y) \in I \!\! R^2 | y\in [c;d], \ x_1(y) \le x \le x_2(y) \} $$ $$ \int_G f(x,y) d(x,y) = \int_c^d \Big( \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) dx \Big) \ dy = ... $$ Beispiel: $$ f(x,y) = x^2 + y^2, \quad x_1(y) = \sqrt{y}, \ x_2(y) = 6-y $$ $$ G = \{ (x,y) \in I \!\! R^2 | y\in [c;d], \ \sqrt{y} \le x \le 6-y \} $$ $$ \int_G f(x,y) d(x,y) = \int_c^d \Big( \int_{ x_1(y) }^{ x_2(y) } x^2 + y^2 dx \Big) \ dy $$ $$ = \int_c^d {1 \over 3 } ( (6-y)^3 - (\sqrt{y})^3) + (6-y - \sqrt{y}) y^2 dy = .... $$ Integration über das gesamte grau gefärbte Gebiet: $ c=0, d $ aus $ 6-d = \sqrt{d} $


Allgemein: Zerlegung einer Menge in x-projezierbare und/oder y-projezierbare Teilmengen und Addition der Integrale

Koordinatentransformation/Substitution

Koordinatentransformation durch stetig differenzierbare Funktion $$ F : G \to I\!\! R^2 , \quad F(G) = \{(x,y)| (x,y) = F(u,v), (u,v) \in G \} $$ $F$ sei stetig differenzierbar, $Det \nabla F =0 $ nur an einzelnen Punkten. Dann gilt: $$ \int_{ F(G) } f(x,y) d(x,y) = \int_G f(F(u,v)) | Det(\nabla F(u,v) ) | d(u,v) $$ oder kurz $$ d(x,y) = | Det(\nabla F(u,v) ) | d(u,v) $$ Für eine lineare Koordinatentransformation $F(u,v) = A (u,v)^T, A$ konstante 2x2-Matrix ist das schon bekannt. Der Flächeninhalt (und damit das Flächenelement transformiert sich mit $ d(x,y) = |Det A | d(u,v) = |Det (\nabla F | d(u,v) $.

Anwendungsbeispiel: Polarkoordinaten

Eine Funktion soll über einen Kreis $K(R) $ mit Radius $R$ und Mittelpunkt $(0,0) $ integriert werden. $$ f(x,y) = \exp(x^2 + y^2) , \qquad K(R) = \{ (x,y) | x^2 + y^2 \le R^2 \}, \quad \mbox{Berechne: } \int_K f(x,y) d(x,y) $$ Da der Kreis sowohl projezierbar in x und y ist, könnte man auch versuchen, das Integral direkt berechnen, das ist aber schwierig. Wir führen Polarkoordinaten in der Ebene (Kreiskoordinaten) ein (siehe Parametrisierung ) weil sich mit diesen das Kreisgebiet einfach beschreiben lässt: $$ (x(r,t), y(r,t) ) = F(r,t) = (r \cos(t), r \sin(t) ) , \quad 0\le t \lt 2\pi , \ r \ge 0 $$ Offenbar $$ G = \{ (r,t) | 0\le t \lt 2\pi , 0 \le r \le R \} \Longrightarrow F(G) = K $$ das bedeutet: Die Menge $G$ ist genau die Parametermenge, die bezüglich der Koordinatentransformation "Kreiskoordinaten" gerade einen Kreis im Kartesischen Koordinatensystem erzeugt.



Ferner $$ det \nabla_{r,t} F (r,t) = det \left( \begin{array}{c} \cos(t) & -r\sin(t) \\ \sin(t) & r \cos(t) \end{array} \right) = r, \quad d(x,y) = r d((r,t) $$ Ferner $ f(x(r,t), y(r,t)) = \exp( r^2 ) $ und damit $$ \int_{ K = F(G) } \exp( x^2 + y^2 ) d(x,y) = \int_G \exp(r^2) r d(r,t) = \int_0^R \int_0^{ 2 \pi } \exp(r^2) r dt dr $$ $$ = 2\pi \int_0^R \exp(r^2) r dt = 2 \pi { 1\over 2 } ( \exp(R^2) - 1) $$ Man kann mit diesem kleinen Trick auch die Normierungskonstante der Gauß-schen Normalverteilung (Mittelwert Null, Streuung 1) berechnen, wenn man dem Integranden $ \exp(-(x^2 + y^2)) $ wählt - und Standardsätze der Integrationstheorie benutzt (Fubini). Gesucht ist: $$ I = \int_{-\infty }^{\infty} \exp(-x^2) dx = \lim_{a \to \infty } \int_{-a}^a \exp(-x^2) dx $$ Dass der Grenzwert existiert, ist durch eine kleine Abschätzung (Majorante des Integranden $x^{-2} $ ) ) leicht einzusehen, man kann ihn aber nicht direkt aus dem Integral berechnen. Es ist aber $$ I^2 = \lim_{a \to \infty } ( \int_{-a}^a \exp(-x^2) dx )^2 = \lim_{a \to \infty } \Big( \int_{-a}^a \exp(-x^2) dx \cdot \int_{-a}^a \exp(-y^2) dy \Big) $$ $$ = \lim_{a \to \infty } \int_{-a}^a \int_{-a}^a \exp(- (x^2+ y^2 ) ) dx dy = \lim_{R \to \infty } \int_{ K(R) } \exp(-(x^2+ y^2) ) d(x,y) $$ Denn ob man den Grenzwert berechnet, indem man die Fläche eines Kreises oder die eines Quadrates gegen unendlich gehen lässt, ist egal. Nun können wir wie oben rechnen durch Übergang auf Polarkoordinaten, indem wir ledigleich das Minus im Integranden berücksichtigen: $$ \int_{ K(R) } \exp(-(x^2+ y^2) ) d(x,y) = 2 \pi { 1\over 2 } ( 1- \exp(-R^2) ) $$ Grenzübergang $ R \to \infty $ liefert $$ I^2 = \pi \Rightarrow I = \sqrt{ \pi } , \Rightarrow { 1 \over \sqrt{ \pi } } \int_{-\infty }^{\infty} \exp(- x^2) dx =1 $$ Mit der Substitution $ x = t/ \sqrt{2} $ ergibt sich dann $$ { 1 \over \sqrt{ 2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} \exp(- {1 \over 2 } x^2) dx =1 $$ die Gaußsche Normalverteilung ist also tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß, siehe auch
Gauß'sche Normalveteilung
Die Berechnung der Normierungskonstante gelang schon im 18. Jahrhundert. Wir haben zugleich gesehen, wie man uneigentliche Integrale im $I\! \! R^2$ "ingenieursmäßig" berechnen kann. An dieser Stelle noch der Hinweis: Viele uneigentliche Integrale kann man durch komplexe Kurvenintegrale über den Residuensatz berechnen.

Anwendung in der Statik: Flächenträgheitsmomente

Die (vereinfachte) Berechnung der Durchbiegung eines Balkenträgers wird in der Balkentheorie auf eine rein geometrieabhängige Größe, das Flächenträgheitsmoment I , eine materialabhängige Größe, das Elastizitätsmodul E und die Lastverteilung in der Längsachse des Balkens zurückgeführt. Die Durchbiegung ist umgekehrt proportional zum Flächenträgheitsmoment. Das Flächenträgheitsmoment (hier um die z-Achse als Drehachse ) ist ein Integral über die Querschnittsfläche des Balkens. $$ I = \int_A \int y^2 d(y,z) $$ Im Falle des oben gezeigten Trägers mit rechteckigem Querschnitt A , Breite b, Höhe h, berechnet sich das Flächenträgheitsmoment als einfaches Doppelintegral $$ I = \int_A \int y^2 d(y,z) = \int_{-h/2}^{h/2} \int_{-b/2}^{b/2} y^2 dz dy = { b h^3 \over 12 } $$

Man kann aus dem Integral auch eine für Konstrukteure nützliche Erkenntnis ablesen. Die quadratische Gewichtung in der $y$-Achse mit Integrand $y^2 $ ist nach dem Hebelgesetz nachvollziehbar. Sie bedeutet, dass das Material im Balken mit großem Abstand zur neutralen Faser (y=0) sich viel stärker - nämlich quadratisch gewichtet, auf das Flächenträgheitsmoment auswirkt, als das Material nahe der neutralen Faser. Wenn man also Material (=Masse) sparen will und wenn die Herstellung auch komplizierterer Querschnittsgeometrien als ein Rechteck möglich ist, benutzt man den Doppel-T-Träger, (auch I-Träger) gennannt. Hier ist möglichst viel Material in maximalem Abstand zu $y=0$ platziert, somit effizient zur Erhöhung der Steifigkeit eingesetzt.
Die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes ist auch hier über Flächenintegrale möglich, aber natürlich etwas aufwändiger, da zwei weitere Geometrieparameter im Spiel sind. Versuchen Sie es. (Rollen von $z$ und $y$ sind im Wiki-Artikel vertauscht zu obigem Bild!)
Träger Nr. 8 in Träger Nr. 8 /Tabelle Siehe auch hier /Modelle Statik
Anwendungsbeispiel: Axiales Flächenträgheitsmoment eines Balkens, dessen Querschnittsfläche A durch Parabeln begrenzt wird.
(Hier Notation wie in Wiki - z-achse = Längsachse senkrecht zur Fläche )
Parameter Höhe $h$ und Breite $b$ siehe Skizze.
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Parametrisierung der Grenzen, Parabeln oben $ y_2= h(1-(x/b)^2)$ und unten $ y_1= h( (x/b)^2 -1) $ $$ y_1= h( ( {x\over b } )^2 -1) \le y \le h( 1- ( {x\over b } )^2 ) = y_2 $$ $$ I_z = \int_A y^2 dA = \int_{-b}^{b} \int_{ h( x^2 b^{-2} -1) }^{h( 1- x^2 b^{-2} ) } y^2 dy dx = { 1\over 3 } \int_{-b}^{b} ( ( h( 1- ( {x\over b } )^2 ) )^3 - h( ( {x\over b} )^2 -1) )^3 dx $$ $$ = { 2 h^3 \over 3 } \int_{-b}^{b} ( -{x\over b} )^6 + 3 ( {x\over b} )^4 - 3 ({x\over b} )^2 + 1 dx $$ $$ = { 2 h^3 \over 3 } ( - { 1\over 7 } {x^7 \over b^6 } + {3\over 5 } {x^5\over b^4} - {3 \over 3} {x^3\over b^2} +x) \Big|_{x=-b}^{x=b} $$ $$ = { 4 h^3 b \over 3 } (-{ 1\over 7 } + {3\over 5 } - 1 +1) = { 4 h^3 b \over 3 } { 16\over 35 } $$

Aufgaben

Aufgabe/Beispiel : Integriere die Funktion $ f(x,y)= xy $ über das Gebiet $ G :\ 0 \le x \le 1, |x+y| \le 1 .$ Lösungshilfe: $$ |x+y| \le 1 \Longleftrightarrow x+y \le 1 \mbox{ -(x+y) \le 1 } \Longleftrightarrow -1-x \le y \le 1-x $$ $G$ is also ein Parallelogramm. Damit liegt die Integrationsreihenfolge fest.