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Integration von Funktionen in drei reellen Variablen

Stand 23.6.2016
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Aufgaben /weitere Beispiele

Berechnung eines Gebietsintegrals (Volumenintegrals) $ G \subset I\!\! R^3 $

$ G \subset I\!\! R^2 $ sei immer eine messbare Teilmenge, $ f : G \to R $ eine integrierbare Funktion.

Wir geben verschiedene Möglichkeiten an, das Integral von $f$ über $G$ auf gewöhnliche (sog. iterierte) Integrale zurückzuführen und so zu berechnen. Welche dieser Möglichkeiten (Parametrisierungen) man wählt, hängt von der Geometrie des Gebietes ab. Gegebenenfalls ist wie bei Integralen über Flächen vorab eine Zerlegung des Gebietes in einfach zu parametrisierende Teilmengen vorzunehmen. Letzten Endes hängt die explizite Berechenbarkeit eines Volumeninterals davon ab, ob man eine geeignete Parametrisierung der dreidimensionalen Gebietes findet und ob man dann die entstehenden gewöhnlichen Integrale auch berechnen kann.

Zu berechnen ist für ein Gebiet $ G \subset I\!\! R^3 $ $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) \qquad \mbox{ Notation auch: } \int \!\!\int\limits_{ G}\!\! \int f(x,y,z) d(x,y,z) $$ Einfach ist die Berechnung eines Volumenintegrals im Falle eines Quaders mit Kantenlängen $a,b,c $ $$ G = \{ (x,y,z) | 0 \le x \le a , 0 \le y \le b , 0 \le z \le c \} $$ $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_0^a \int_0^b \int_0^c f(x,y,z) dz dy dx $$ Die Auswertung der iterierten Integrale rechts erfolgt normalerweise von innen (zuerst $dz $ ) nach außen (zuletzt $dx$) . hier aber ist die Reihenfolge egal, da konstante Grenzen vorliegen.

Integration über Querschnitte.

Idee: Man schneidet den Körper mit einer Ebene senkrecht zu einer der Koordinatenachsen und integriert diese Schnitte entlang dieser Koordinatenachse auf.
Beispiel Kreiskegel: $G$ als gerader Kreiskegel mit Höhe $h$, Grundkreisradius $R$ in der (x,y) Ebene , Mittelachse = z-Achse. $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_0^h \int_{A(z)} f(x,y,z)\; d(x,y) dz $$ $A(z)$ ist die Schnittfläche mit einer Ebene senkrecht zur $z$-Achse auf der Höhe $z$. Also ein Kreis.
Das innere Integral kann durch Parametrisierung der Kreisflächen $A(z)$, weiter berechnet werden, denn deren Radius $r(z) $ ist eine affin lineare Funktion in $z$
$$ A(z) = \pi (r(z))^2, \ r(0)=R, r(h) =0, \ \mbox{r linear} \Rightarrow r(z) = -{R \over h } z + R, $$

Hier kann man zum Beispiel mit Kreiskoordinaten, entspricht Substitution/Koordinatentransformation, siehe Integration in zwei Variablen weiterrechnen. $$ x(r,t) = r \cos(t), \quad y(r,t) = r \sin(t), \quad 0\le r \le r(z), \quad 0\le t \le 2 \pi , d(x,y) = r\cdot d(r,t) $$ $$ \int_0^h \int_{A(z)} f(x,y,z)\; d(x,y) dz = \int_0^h \int_0^{r(z) } \int_0^{2\pi } f(x(r,t) ,y(r,t) ,z) \cdot r\; dt dr dz $$ Speziell für die konstante Funktion $ f=1$ erhalten wir so das bekannte Volumen des Kegels : $$ \int_G 1 \; d(x,y,z) = \int_0^h \int_{A(z)} 1 d(x,y) dz = \int_0^h \int_0^{r(z) } \int_0^{2\pi } 1 \cdot r\; dt dr dz = \int_0^h 2 \pi { 1 \over 2 } r(z)^2 dz = { 1\over 3 } \pi h R^2 $$

Beispiel: Formel für das Volumen eines Rotationskörpers
In analoger Weise zum Kreiskegel kann man auch allgemeine Rotationskörper behandeln. Der Körper $G$ (bzw. genauer dessen Oberfläche ) enstehe durch die Rotation des Graphen einer Funktion $r(z), a\le z \le b $ um die z-Achse. $A(z) $ sei die Querschnittsfläche mit einer Ebene senkrecht zur z-Achse wie im Beispiel zuvor. Im vorigen Beispiel des Kegels war $r(z) $ eine affin lineare Funktion in $z$, eine Gerade, nun lassen wir auch allgemeinere Funktionen zu. Das Volumen des Rotationskörpers ist dann analog zu vorigem Beispiel mit $f=1$ durch folgendes Integral zu berechnen: $$ \int_G 1 \; d(x,y,z) = \int_a^b \int_{A(z)} 1 d(x,y) dz = \int_a^b \int_0^{r(z) } \int_0^{2\pi } 1 \cdot r\; dt dr dz = \pi \int_a^b r(z)^2 dz $$

Anmerkungen zur Methode Die Methode der Schnittmengenintegration kann je nach Lage des Körpers natürlich auch über Schnitte senkrecht zu anderen Koordinatenachsen ausgeführt werden. "Schiefe" Körper kann man durch Koordinatentransformation oft auf diese Situation zurückführen. Ansonsten hilft manchmal noch das Prinzip des Cavalieri

Integration bei projezierbaren Mengen

Definition: Eine Menge $ G \subset I\!\! R^3 $ heißt z-projezierbar, wenn es eine Menge $ G_z \subset I\!\! R^2 $ sowie Funktionen $z_1, z_2: G_z \to I\!\! R $ gibt, mit $$ G = \{ (x,y,z) | z_1 (x,y) \le z \le z_2(x,y) , \ (x,y) \in G_z \} . $$ In diesem Fall $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_{G_z} \int_{z_1(x,y) }^{z_2(x,y) } f(x,y,z)\, dz d(x,y) $$ Analog definiert man eine x-projezierbare $$ G_x = \{ (x,y,z) | x_1 (y,z) \le x \le x_2(y,z) , \ (y,z) \in G_x \} $$ $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_{G_x} \int_{x_1(y,z) }^{x_2(y,z) } f(x,y,z)\, dx d(y,z) $$ und eine y-projezierbare Menge $$ G_y= \{ (x,y,z) | y_1 (x,z) \le y \le y_2(x,z) , \ (y,z) \in G_y \} . $$ $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_{G_y} \int_{y_1(x,z) }^{y_2(x,y) } f(x,y,z)\, dy d(x,z) $$ Anschaulich betrachtet integriert man im inneren Integral nicht über eine Fläche wie bei der Schnittmethode, sondern über eine Strecke deren Länge eine Funktion der jeweils anderen beiden Variablen ist , etwa $ z: z_1(x,y) \le z \le z_2(x,y) $. Das Volumenintegral $ .. d(x,y,z) $ wird also auf ein gewöhnliches Integral in einer Variablen innen und ein Flächenintegral außen zurückgeführt. Letzteres wird weiter behandelt wie in diesem Abschnitt erläutert


Wir betrachten zur Illustration wieder das Beispiel des Kreiskegels aus dem vorigen Abschnitt:
Beispiel Kreiskegel: $G$ als gerader Kreiskegel mit Höhe $h$, Grundkreisradius $R$ in der (x,y) Ebene , Mittelachse = z-Achse. $$ \int_G f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_{G_z} \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)\; d(x,y) dz $$ Dabei ist $$ G_z = \{ (x,y) | x^2 + y^2 \le R^2 \}, \quad z_1 =0 $$ und die obere Grenze $z_2 $ können wir durch Umformen der oben ermittelten Funktton $r(z)$ auf dem Mantel des Kegels gewinnen: $$ \sqrt{x^2 + y^2} = r(z_2 ) = -{R \over h } z_2 + R \Longrightarrow z_2(x,y) = h ( 1 - {1 \over R } \sqrt{ x^2 + y^2 } \ ) $$

Speziell für das Volumen des Kreiskegels ergibt sich mit $ f=1 $ dann durch Berechnung des inneren Integrals: $$ I = \int_G 1 d(x,y,z) = \int_{G_z} \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} 1 \;dz d(x,y) = \int_{G_z} h ( 1 - {1 \over R } \sqrt{ x^2 + y^2 } ) d(x,y) $$ Das äußere Integral kann wie bei der Schnittmethode durch Parametrisierung der Kreisfläche $G_z$ über die Einführung von Kreiskoordinaten (Koordinatentransformation) weiter berechnet werden, die Parametrisierung von $G_z$ ist klar, da ein Kreis mit Radius $R$. $$ x(r,t) = r \cos(t), \quad y(r,t) = r \sin(t), \quad 0\le r \le R , \quad 0\le t \le 2 \pi , d(x,y) = r\cdot d(r,t) , $$ $$ \int_{G_z} h ( 1 - {1 \over R } \sqrt{ x^2 + y^2 } ) d(x,y) = \int_0^R \int_0^{2\pi } h ( 1 - {1 \over R } r )\cdot r \; dt dr = {1\over 3 } \pi h R^2 $$ Beim Kreiskegel ist also sowohl die Schnittmethode, als auch die Projektion in Richtung der Mittelachse möglich und liefert natürlich auch dasselbe Ergebnis. Nach meinem Gefühl ist hier die Schnittmethode etwas einfacher anzusetzen, man muss nicht erst die "Mantelfunktion" $z_2 $ berechnen, aber das mag jeder für sich entscheiden. Generell gibt es für die Parametrisierung von Gebieten keine Patentrezepte.

Einordnung von Flächenintegralen in den Kontext Volumenintegral

Ein Integral über eine Fläche ist immer ein spezielles Volumenintegral, $G_2$ sei ein Gebiet in der $x-y$-Ebene: $$ \int_{G_2} \int_0^{f(x,y) } 1 d(x,y,z) = \int_{G_2} \int_0^{f(x,y) } 1 \; dz d(x,y) = \int_{G_2} f(x,y) d(x,y) $$

Koordinatentransformation/Substitution

Koordinatentransformation durch stetig differenzierbare Funktion auf einer Menge $ G \subset I\!\! R^3 $ $$ F : G \to I\!\! R^3 , \quad F(G) = \{(x,y,z) \in I\!\! R^3 | (x,y,z) = F(u,v,w), (u,v,w) \in G \} $$ $F$ sei stetig differenzierbar mit Jacobimatrix $ \nabla F $ , $Det \nabla F (x,y,z) \ne 0 $ bis auf eine Nullmenge. Dann gilt: $$ \int_{ F(G) } f(x,y,z) d(x,y,z) = \int_G f(F(u,v,w)) | Det(\nabla F(u,v,w) ) | d(u,v,w) $$ Für eine lineare Koordinatentransformation $F(u,v) = A \cdot (u,v)^T, A$ konstante 3x3-Matrix ist das schon bekannt. Der Flächeninhalt (und damit das Flächenelement $d(u,v,w) $) transformiert sich mit $ |Det A | = | Det \nabla F | $, symbolisch $$ d(x,y,z) = | Det(\nabla F(u,v,w) ) | d(u,v,w) | $$

Beispiel: Transformation auf Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten sind Kreiskoordinaten in einer Ebene, die senkrecht stehende Achse bleibt kartesisch. Am Beispiel Zylinderkoordinaten bezüglich $x-y$-Ebene: $$ (x,y,z) = F(r,t,z), $$ $$ x(r,t,z) = r \cos(t), \ $$ $$ y(r,t,z)= r \sin(t), \ z = z , $$ $$ 0 \le r \le R, \quad 0\le t \le 2\pi , \quad z_1 \le z \le z_2 $$ $$ d(x,y,z) = r\cdot d(r,t,z) $$ $$ r = x^2 + y^2 $$ Die oben beschriebene Menge stellt im kartesischen Koordinatensystem einen Kreiszylinder mit Radius $R$ und Mittelachse = z-Achse dar. Damit kann man bezüglich der z-Achse rotationssymmetrische Körper bzw. Teile davon parametrisieren und entsprechende Integrale darüber oft einfacher berechnen. als in den kartesischen Koordinaten (vgl. Aufgaben). Die Koordinatentransformation $F$ bildet also einen Quader (in $ (r,t,z) $-Koodinaten) auf einen Zylinder in $(x,y,z) $-Koordinaten ab.





Einen Zylinder mit elliptischem Querschnitt (Hauptachsenabschnitte $a, b $), siehe "Parametrisierung", z-achse als Mittelachse erhält man durch folgende Parametrisierung
$$ (x,y,z) = F(r,t,z), \quad x(r,t,z) = ar \cos(t), \ y(r,t,z)= b r \sin(t), \ z = z , $$ $$ 0 \le r \le R, \quad 0\le t \le 2\pi , \quad z_1 \le z \le z_2 $$ $$ d(x,y,z) = abr\cdot d(r,t,z) $$

Für Körper, die entlang einer anderen Koordinatenachse rotationssymmetrisch sind, bzw Teile solcher, ist die Parametrisierung entsprechend anzupassen Liegt die Symmetrieachse schräg im Raum, so kann man zuvor eine lineare Koordinatentransformation (Drehung mit einer geeigneten Drehmatrix $A$) durchführen. Diese ist natürlich in der Substitution zu berücksichtigen.

Beispiel: Transformation auf Polarkoordinaten-Kugelkoordinaten für zentralsymmetrische Körper

In diesem Fall wählt man für eine Koordinatenebene zunächst Kreiskoordinaten wie bei den Zylinderkoordinaten, stellt aber den Raumvektor dann noch mittels eines Raumwinkels zu der Koordinatenbene dar. Dafür gibt es verständlicherweise viele Möglichkeiten, je nachdem wie und ab wo man den Winkel zählt. Z.B. von $ -\pi/2 $ bis $ \pi /2 $ oder $ 0 ... \pi $, gemessen ab der Ebene oder der senkrecht dazu stehenden Achse. Teilweise unterscheiden sie sich auch noch in der Transformationsdeterminante. Daher gibt es keine einheitlichen "Polarkoordinaten", aber einige "gebräuchliche" Systeme.
Im Wikipedia-Artikel zu Kugelkoordinaten wird der Raumwinkel $\theta $ ab der positiven z-Achse gemessen, der Ebenenwinkel $ \phi $ (entspricht unserem $t$ bei Kreiskoodinaten ) ab der pos. $x$-Achse.
$$ 0 \le \phi \le 2 \pi , \ 0 \le \theta \le \pi $$ $$ (x,y,z) = F(r,\theta, \phi) $$ $$ x = r \sin(\theta) \cos(\phi) $$ $$ y = r \sin(\theta) \sin(\phi) $$ $$ z = r \cos(\theta) $$ $$ r^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$ $$ d(x,y,z) = r^2 \sin(\theta) d(r, \theta, \phi), $$ $$ Det (\nabla F) = r^2 \sin(\theta) $$ $\sin (\theta ) \ge 0 $ für $0 \le \theta \le \pi $

Anwendung in der Mechanik: Masse, Schwerpunktskoordinaten eines Körpers

$G$ sei ein Körper mit Dichte $ \rho(x,y,z) $ $$ \mbox{ Masse: } \quad M = \int_G \rho(x,y,z) d(x,y,z) $$ Koordinaten des Schwerpunkts von G $(x_s, y_s, z_s) $ sind gegeben durch: $$ x_s = { 1\over M } \int_G x\cdot \rho(x,y,z) d(x,y,z), \quad y_s = { 1\over M } \int_G y \cdot \rho(x,y,z) d(x,y,z), \quad z_s = { 1\over M } \int_G z \cdot \rho(x,y,z) d(x,y,z), $$

Aufgaben

Aufgabe zu Zylinderkoordinaten : Stelle in einer Skizze im kartesischen Koordinatensystem die Körper dar, die folgende Parametrisierung in Zylinderkoordinaten besitzen:
(a) $G_a : 0 \le r \le R(z)= 1-z^2 , \ 0\le z \le 1 ,\ 0\le t \le 2 \pi $
(b) $G_b : 0 \le r \le R(z)= 1- \sqrt{z} , 0\le z \le 1 ,\ 0\le t \le 2 \pi $
(c) $G_c : 0 \le r \le 3 , \ 0\le z \le 1 , 0 \le t \le { \pi \over 3 } $

Hilfe: Sie erhalten Hütchen, die nach innen bzw außen gekrümmt sind und ein Tortenstück.

Aufgabe zu abgeschnittenen Kegeln
Versuchen Sie, eine Formel für das Volumen des schräg mit einer Ebene abgeschnittenen Kegelstumpfs zu ermitteln. Grundkreisradius $R$, Höhe genau auf der Mittelachse (z-Achse) gemessen $h$. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem waagerecht (parallel zu x-y Ebene) abgeschnittenen Kegelstumpf (siehe Schule/Geometrie). Können Sie ihre Erkenntnis auch anschaulich begründen, ohne ein Volumenintegral zu berechnen?






Aufgabe zu Rotationskörpern
Lassen Sie die Funktionenschar $ r_p(z) = z^{-p} , \ 1 \le z \lt \infty $ um die z-Achse rotieren und berechnen Sie das Volumen dieses Rotationskörpers.
Für welche $ p \gt 0 $ ist das Volumen endlich? Vergleichen Sie das Resultat mit der Existenz des Grenzwerts $$ \int_1^{\infty} r_p(z) dz $$





Aufgabe Schnitt zweier Zylinder
(a) Skizzieren sie im kartesischen Koordinatensystem die Schnittmenge der rechtwinklig zueinender stehenden Zylinder $Z_1: y^2 + z^2 \le 1 $ und $Z_2 : x^2 + z^2 \le 1 $ und berechnen Sie das Volumen der Schnittmenge.
(b) Schneiden Sie die Schnittmenge aus (a) noch mit dem Zylinder $Z_3: x^2 + y^2 \le 1$ und skizzieren Sie diese Menge im kartesischen Koordinatensystem.