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Integralsaetze

Stand 24.2.2017
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Kurvenintegral
Flächenintegral
Integralsatz von Gauss
Integralsatz von Stokes
$$ \mbox{ Skalarfeld: } f : I\!\! R^3 \to I\!\! R $$ $$ \mbox{ Vektorfeld : } F = (f_1,f_2, f_3) : I\!\! R^3 \to I\!\! R^3 $$

Verwendete Abkürzungen / Differential-Operatoren

$$ \nabla f = (f_x, f_y, f_z) = = \left( { \partial f \over \partial x } (x,y) \ , \ { \partial f \over \partial y } (x,y) , { \partial f \over \partial z } (x,y) \right) $$ $$ \mbox{Laplaceoperator : } \Delta f = f_{xx} + f_{yy } + f_{zz} $$ $$ \mbox{Divergenz: } \quad div F = (f_1)_x + (f_2)_y + (f_3)_z = \nabla \bullet F $$ $$ \mbox{Rotation: } rot F = \nabla \times F = \left( \begin{array}{c} (f_3 )_y - (f_2)_z \\ (f_1)_z - (f_3)_x \\ (f_2)_x - (f_1)_x \end{array} \right) $$ Satz/Formeln zum Rechnen mit Divergenz und Rotation
$F,G$ seien differenzierbare Vektorfelder, $f$ diffenrenzierbares Skalarfeld $$ \begin{array}{cc} div \nabla f &= \Delta f \\ div( F+G) &= div F + div G \\ div(f \cdot G) &= f div G + G \bullet \nabla f \\ div (F \times G) &= rot F \bullet G - F \bullet rot G \\ rot (F+G ) &= rot F + rot G \\ rot (f \cdot G) &= f \cdot rot G - G \times \nabla f \\ rot rot F &= \nabla div F - \Delta F \end{array} $$ Abkürzung $ G \subset I\!\! R^3 $ sei immer eine messbare Teilmenge mit Rand $\partial G $ , $ f : G \to R $ eine integrierbare Funktion. $$ \int_G f d(x,y,z) = \int\int\int_G f d(x,y,z) $$

Kurvenintegral

$K$ ist eine stückweise glatte Kurve , wenn die Funktionen $x, y, z : [a,b] \to I\!\! $ stückweise, d.h. auf einer Zerlegung von $[a,b]$ in Teilintervalle, differenzierbar sind. Parameterdarstellung: $$ K = \{ (x,y,z) | (x,y,z) = K(t) = (x(t),y(t),z(t)) , t \in [a,b] \} $$ Die Ableitungen nach dem Parameter $t$ geben Feld der Tangentenrichtungen an K, im Inneren der Teilintervalle auf denen $K$ differenzierbar ist: $$ K'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t) ) $$ $$ \| K'(t) \| = \sqrt{K' \bullet K' } = \sqrt{ (x')^2 + (y')^2 + (z')^2 } $$ Kurvenintegral über Skalarfeld: $K$ sei stetig und stückweise glatt: $$ \int_K f(k) dK = \int_a^b f(K(t)) \| K'(t) \| dt, $$ für $f=1$ erhält man die Bogenlänge der Kurve $K$.

Das Kurvenintegral über Vektorfeld $F$, in der Physik z.B. das Arbeitsintegral. $$ \int_K F(k) \bullet dK = \int_a^b F(K(t)) \bullet K'(t) dt $$ Bewegt sich ein Massenpunkt entlang einer Kurve $K$ in einem Kraftfeld $F$ (d.h. an jedem Punkt des Raumes wirkt eine Kraft $F$ auf ihn), so gibt das Kurventegral $\int_K F(k) \bullet dK $ gerade die bei dieser Bewegung verrichtete Arbeit an.


Eine Vektorfeld $F$ heißt konservativ , wenn seine Kurvenintegrale wegunabhängig sind. D.h. wenn für zwei beliebige Kurven $K_1, K_2 $, welche denselben Anfangs- und Endpunkt haben, die Kurvenintegrale über F stets gleich sind. $$ \int_{K_1} F(k) \bullet dK = \int_{K_2} F(k) \bullet dK $$ Integrale über geschlossene Kurven haben dann den Wert Null. Dies ist dann der Fall, wenn $F$ ein Gradientenfeld ist, wenn also für eine Funktion $g: R^3 \to R $ die Beziehung $$ F = \nabla g $$ gilt. $g$ bezeichnet man dann als Potential von $F$ - das ist dann eine Verallgemeinerung der Stammfunktion auf den $R^3$ In diesem Falle mit einer Kurve $K(t) =(x(t), y(t), z(t)) , t\in [a;b ] :$ $$ \int_K F(k) \bullet dK = \int_K \nabla g (k) \bullet dK = \int_a^b \nabla g \bullet K'(t) dt = \int_a^b g_x x'(t) + g_y y'(t) + g_z z'(t) dt = g(K(b)) - g(K(a)) $$ Ist die Kurve geschlossen, dann ist $ K(b) = K(a) $ und das Integral hat den Wert Null.

Äquivalenzen
Die Bedingungen "F konservativ ", "F besitzt ein Potential" , "Integral von F über jede geschlossene Kurve ist Null" und die Integrablitätsbedingung $$ (f_1)_y = (f_2)_x, \quad (f_3)_x = (f_1)_z , \quad (f_2)_z = (f_3)_y , \quad F=(f_1,f_2,f_3) $$ sind unter bestimmten Voraussetzungen ($F$ stetig partiell differenzierbar, alls Kurven liegen in einem zusammenhängenden Gebiet wie Quader oder Kugel, Integrabilitätsbedingugen erfüllt im Inneren dieses Gebietes) äquivalent.

Beispiel Physik: Gravitationsfeld Punktmasse / elektrisches Feld Punktladung /Arbeitsinegral
Für eine Punktmasse (und eine elektrische Punktladung) im Nullpunkt des kartesischen Koordinatensystems hat man Potentiale der Form: $$ \mbox{ Potential } \Phi (x,y,z) = \Phi ( r) = { c \over r } + c^* , \quad, r= \| { \bf r } \|, \quad \mbox{ Ortsvektor } { \bf r } = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) $$ Für Gravitation: $c =-MG $ ( $M$ Masse des Körpers, der das Gravitationsfeld erzeugt, mal Gravitationskonstante $G$ Wert siehe hier , $c^* $ eine willkürliche Integrationskonstante (meist Null gesetzt).

Analog bestimmt man $c $ im elektrischen Feld aus dem physikalischen Kontext aus Ladung und elektrischer Feldkonstante, siehe z.B. Wiki- Elektrisches Feld
$$ \mbox{ Feldstärke (Gravitations-/elektrische) } F = \nabla \Phi = c{ {\bf r } \over r^3 } $$ Die auf einen Körper der Masse $m$ durch das Feld ausgeübte Kraft ist dann $$ F_G = m F , \quad \mbox{ Arbeitsintegral : } W= \int_K mF \bullet dK $$ Das Arbeitsintegral verallgemeinert also den im Fall einer geraden Bahnkurve und konstanten Kraft bekannten Zusammenhang "Arbeit ist Kraft mal Weg".
Das folgende gilt sinngemäß auch für das elektrische Feld. Da das Potential hier nur vom Abstand zum Nullpunkt abhängt , ist das Kurvenintegral über Kurven zwischen zwei Punkten auf derselben Kugelobefläche mit Mittelpunkt Null (Äquipotentialfläche) also immer Null. Es wird also bei einer Bewegung auf der Kugeloberfläche im zentralsymmetrischen Feld keine physikalische Arbeit verrichtet bei Nullreibungsannahmen.
Insbesondere gilt das auch natürlich auch bei geschlossenen Kurven. Aber letzteres folgt ja schon unabhängig von der speziellen Form des Potentials schon alleine aus der Existenz des Potentials, gilt also auch für andere Gravitationsfelder die ein Potential besitzen. Formal: Hat man auf einer Kugeloberfläche (Kugel mit Mittelpunkt Null) zwei Punkte $ (x_1, y_1, z_1) $ und $ (x_2, y_2, z_2) $ verbunden mit einer Verbindungskurve $K$ so haben diese Punkte denselben Abstand vom Nullpunkt, $$ r = \|(x_1, y_1, z_1) \| = \|(x_2, y_2, z_2) \|, \quad \int_K m F \bullet dK = m\Phi(r) - m\Phi(r) = 0 $$ Das o.g. Potential gilt auch für kugelsymmetrische Körper, wenn der Abstand $r$ zum MIttelpunkt größer als der Radius des Körpers ist.
Man sieht ferner, dass die Arbeit, die bei der Bewegung eines Massenpunktes (mit Masse $m$ ) im Gravitationsfeld auf einer Bahnkurve $K$ zwischen zwei Punkten verrichtet wird, nur von den Entfernungen des Anfangs- und Endpunktes zum Mittelpunkt des Feldes/anziehenden Körpers abhängt. $$ r_1 = \|(x_1, y_1, z_1) \|, \quad r_2 = \|(x_2, y_2, z_2) \|, \quad \int_K m F \bullet dK = m(\Phi(r_2) - \Phi(r_1) ) $$ Es ist also bei Vernachlässigung von Reibungseffekten hinsichtlich der verrichteten Arbeit egal, ob man eine Rakete senkrecht auf 1 km Höhe ab Erdoberfläche schießt oder z.B. in Schraubenlinien auf 1 km Höhe aufsteigen lässt.
Arbeit ist Null bei Bewegung eines Massenpunktes zwischen $C$ und $D$. Die Arbeit ist nur von den Abständen $r_1, r_2$ abhängig bei Bewegung zwischen $B$ und $C$ bzw $D$, d.h. bei Bewegung von $B$ nach $C$ verrichtet man dieselbe Arbeit wie von $B$ nach $D$, nämlich jeweils $ \Phi(r_2) - \Phi(r_1) .$


Berechnungsbeispiele
K ist eine Schraubenlinie auf einem Zylindermantel mit Höhe $2 \pi $. $$ K (t) = ( \cos t , \sin t, t ) , t \in [0;2 \pi ], \quad K'(t) = (-\sin t, \cos t , 1) $$ $$ f(x,y,z) = x^2 + y+2 + z^2 $$ $$ \int_K f(k) dK = \int_a^b f(K(t)) \| K'(t) \| dt $$ $$ = \int_0^{2\pi } ( \cos^2 t + \sin^2 t +t^2 )\cdot \sqrt{ \sin^2 t + \cos^2 t + 1) } = \int_0^{2\pi } (1+ t^2) \sqrt{2} dt = \sqrt{2} ( 2 \pi + { (2\pi)^3) \over 3 } ) $$ Integral über Vektorfeld, Kurve $K$ wie zuvor: $$ F(x,y,z) = ( -y,x, \sqrt{z} ) $$ $$ \int_K F(k) dK = \int_a^b F(K(t)) \bullet K'(t) dt $$ $$ = \int_0^{2\pi } ( -\sin t , \cos t, \sqrt{t} ) \bullet (-\sin t, \cos t , 1) dt = \int_0^{2\pi } 1 + \sqrt{t} dt = 2\pi + { 2\over 3 } (2\pi)^{3/2} $$

Oberflächenintegral

Parametrisierung einer Fläche $S $ im $R^3$ über eine Funktion $$ s: G_2 \subset I\!\! R^2 \to I\!\! R^3, \quad S = \{ (x,y,z) = s(u,v) | (u,v) \in G_2 \} $$ Normalenvektor auf $S$: $$ {\bf n} (u,v) = s_u(u,v) \times s_v (u,v) $$ Normaleneinheitsvektor $$ {\bf n} (u,v) = { s_u(u,v) \times s_v (u,v) \over \| s_u(u,v) \times s_v (u,v) \| } $$ Oberflächenintegral über ein Skalarfeld $f$ $$ \int_S f(s) \; ds = \int_{G_2} f (s(u,v) ) \cdot \| s_u(u,v) \times s_v (u,v) \| d(u,v) $$ Für $f=1$ erhält man gerade den Oberflächeninhalt.

Das Oberflächenintegral über ein Vektorfeld $F$ , wird zurückgeführt auf ein skalares,
$ {\bf n} $ sei dabei der Normaleneinheltsvektor. $$ \int_S F(s) \bullet ds ;= \int_S (F(s) \bullet {\bf n}) ds = \int_{G_2} F(s(u,v) ) \bullet ( s_u(u,v) \times s_v (u,v) ) \, d(u,v) $$ Die letzte Formel zeigt die Berechnungsmethode, die Normierungen kürzen sich heraus.

Spezielle Parametrisierung einer Fläche als Graph einer Funktion $ g : R^2 \to R $ $$ x=u, y=v, z= g(u,v) , \quad s(u,v) = (u,v, g(u,v) ) , \quad s_u \times s_v = (1,0,g_u) \times (0,1,g_v) = (-g_u, -g_v, 1) \quad (*) $$

Beispiel Kugel: $S$ sei Oberfläche einer Kugel mit Radius $R$. Die Kugelkoordinaten geben uns folgende Parametrisierung: ($u= \theta , v= \phi $) $$ (x, y, z) =s(u,v) = ( R \sin(u ) \cos(v), \; R \sin(u ) \sin(v) , \; R \cos(u ) ) , \quad (u,v) \in G_2 = [0, \pi] \times [0, 2\pi ] $$ Eine Parametrisierung in der speziellen Form (*) ist hier nicht möglich. Das ginge nur für eine Halbkugel , etwa die obere mit $$ x=u, y=v , z= g(u,v) = \sqrt{R^2 - u^2 - v^2 } , 0\le u \le \pi, 0 \le v \le 2\pi $$


Beispiel: Mantelfläche Kegelstumpf in Zylinderkoordinaten berechnet. $S$ sei der Kegelstumpfmantel $$ S = \{ s(u,v) = (u \cos(v), u \sin(v) , u ) | (u,v) \in G_2: R_1 \le u \le R_2 , 0 \le v \le 2 \pi \}, \quad R_1 \lt R_2 $$ Man berechnet zunächst $$ \| s_u (u,v) \times s_v (u,v) \| = u \sqrt{2} $$ Der Oberflächeninhalt ist dann $$ \int_{G_2} \| s_u (u,v) \times s_v (u,v) \| d(u,v) = \int_{R_1}^{R_2} \int_0^{2\pi } \sqrt{2} u dv du = \pi \sqrt{2} (R_2^2 - R_1^2) $$

Parametrisierung von rotationssymmetrischen Flächen mit Zylinderkoordinaten, hier mit Mittelachse $z$-Achse:

$$ x = r(u) \cos(v), \quad y = r(u)\sin(v) , \quad z = u ,\quad v\in [0;2\pi] , u \in [a;b ] $$ Für Ausschnitte wählt man einen anderen Winkelbereich, etwa $v \in [ 0;\pi/2 ] $ für den Ausschnitt $ x\ge 0, y \ge 0 $ (ein Viertel) .

Beispiele :
Kegel der Höhe 1, Steigung 1: : $ r(u) = 1-u, u \in [0;1] $


Nach außen gebeulter Hut (quadratisch): $ r(u) = 1-u^2, u \in [0;1] $


Nach innen gebeulter Hut (Quadratwurzel) $ r(u) = 1-\sqrt{u}, u \in [0;1] $


"Ufo" (Kosinusfläche) $ r(u) = 1- \cos(2\pi u) , u \in [0;1] $


Integralsatz von Gauss

${\bf n} $ sei der Normaleneinheitsvektor und $ \partial G $ der Rand des Gebietes $G\subseteq I\!\! R^3 , $ $F$ ein differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt zwischen dem Volumenintegral und dem Oberflächenintegral folgende Beziehung: $$ \int_G div F \; d(x,y,z) = \int_{\partial G } (F\bullet {\bf n} ) \; ds $$ Interpretation: Die Summe der Änderungen eines Vektorfelds in Richtung der Koordinatenachsen (seine Divergenz, Quellenverteilung ) integriert über das Gebiet (Körper) entspricht dem Integral der Flüsse über die Oberfläche.

Dieser Satz findet Anwendung für praktische Berechnungen, wenn eines der Integrale leichter als das andere zu berechnen ist. Er wird auch in der Physik benutzt, um Beziehungen zwischen Feldgrößen im Inneren und am Rand eines Gebietes aufzustellen. Das ist auch der historische Ursprung gewesen. Gaußscher Integralsatz
Ferner kann man daraus auch Formeln herleiten, die das 3-D Analogon zur partiellen Integration in $R$ darstellen. Aus $$ div ( F \cdot u) = (div F) \cdot u + F \bullet \nabla u, \quad \int_G div (F\cdot u) \; d(x,y,z) = \int_{\partial G } (F\cdot u) \bullet {\bf n} \; ds $$ folgt $$ \int_G ( div F) \cdot u \; d(x,y,z) = \int_{\partial G } (F\cdot u) \bullet {\bf n} \; ds - \int_G (F\bullet \nabla u) \; d(x,y,z) $$

Illustrationsbeispiel für die praktische Berechnung eines Oberflächenintegrals mit dem Gauß'schen Integralsatz:

Beispiel: Die Halbkugel $$ G = \{ (x,y,z) |z \ge 0 , x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \} $$ besitzt als Oberfläche $ \partial G $ einen Kreis in der x-y-Ebene und die halbe Oberfläche der Kugel oberhalb dieser Ebene. Das Integral $$ \int_{\partial G } F\bullet {\bf n} ds $$ müsste also, wollte man es direkt als Oberflächenintegral berechnen, als Summe von zwei Integralen berechnet werden. Es wären dazu dann die genannten beiden Flächen zu parametrisieren. Einfacher geht das in folgendem Beispiel mit dem Satz von Gauß. Gegeben sei das Vektorfeld $$ F = (2xz^2 + y^2, y^3 + xz , 3x^2 z - y ), \quad div F = 3z^2 + 3y^2 + 3x^2 = 3r^2 $$ Mit dem Gauß'schen Integralsatz: $$ \int_{\partial G } F\bullet {\bf n}\; ds = \int_G div F \; d(x,y,z) = \int_G 3(x^2 + y^2 + z^2) \; d(x,y,z) $$ Durch Einführung von Kugelkoordinaten ( siehe hier ) $$ x = r \sin(\theta) \cos(\phi), \quad y = r \sin(\theta) \sin(\phi) , \quad z = r \cos(\theta) $$ $$ d(x,y,z) = r^2 \sin(\phi)\; d(r,\phi, \theta) \quad r^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$ transformiert sich die Halbkugel $G$ in den Quader $$ 0 \le r \le 1, \quad 0 \le \phi \le 2\pi , \quad 0 \le \theta \le \pi/2 $$ und wir können das Integral über $ G$ weiter über iterierte Integrale berechnen: $$ \int_G 3(x^2 + y^2 + z^2) \; d(x,y,z) = 3 \int_0^1 \int_0^{\pi/2 } \int_0^{2 \pi } 3 r^2 \cdot r^2 \sin(\phi) \; d\phi \; d\theta\; dr = { 6 \pi \over 5 } = \int_{\partial G } F\bullet {\bf n}\; ds $$

Integralsatz von Stokes



${\bf n} $ sei der Normaleneinheitsvektor auf der stückweise glatten Fläche $S\subset I\!\! R^3 , $ mit der stückweise glatten Randkurve $K$ $F$ ein einmal stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt zwischen dem Flächenintegral und dem Integral über die Randkurve der Fläche folgende Beziehung: $$ \int_{ S } (rot F\bullet {\bf n} ) \; ds = \int_K F \bullet dK $$ $K$ ist dabei in der Richtung zu durchlaufen, die der Normaleneinheitsvektor induziert (Rechtssystem), da sich sonst die Vorzeichen der Integrale unterscheiden.

Berechnungsbeispiel zum Satz von Stokes:

$S$ sei die Oberfläche der oberen Halbkugel (ohne den Schnitt mit der x-y-Ebene) $$ S = \{ (x,y,z) |z \gt 0 , x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \} $$ Randkurve von $S$ parametrisiert in Polarkoordinaten: $$ K = \{ (\cos(t), \sin(t), 0) \in R^3 | t \in [0;2\pi ] \} $$ $$ F = (y,2z, 3x) $$ Mit dem Satz von Stokes: $$ \int_{ S } (rot F\bullet {\bf n} ) \; ds = \int_K F \bullet dK = \int_0^{2\pi } F(K(t)) \bullet K'(t) \; dt $$ $$ = \int_0^{2\pi } (\sin(t), 0, 3\cos(t) ) \bullet (-\sin(t), \cos(t) , 0) \; dt = \int_0^{2\pi } (-\sin^2 (t) ) dt = - \pi $$