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Aufgaben zur linearen Algebra/Matrizenrechnung

Vektorräume, lineare Unabhängigkeit, Dimension
Aufgabe Für welche Parameter $s$ sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? $Dim(span( \vec{u(s)}, \vec{w}) = $ ? $$ \vec{u} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 5 \\ s \end{array} \right), \vec{w} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 10 \\ 12 \end{array} \right) $$ Beispiel Projektion auf Unterraum

Lineare Gleichungssysteme, Lösbarkeit, Rang
Beispiel: Gaußverfahren /Tableaus, ganzzahlige Rechnung
Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren für das Gleichungssystem die Lösung(en). Dabei soll soweit möglich ganzzahlig gerechnet werden!
$$ \begin{array}{r } 3x + 3y + 11z = -2 \\ 2x + 4y + 4z =\ 4 \\ 5 x + 2y +3z =\ 9 \end{array} \qquad $$ Lösung mit einem Beispieltableau:
Methode: Es werden nur Zeilen der um die rechte Seite des Gleichungssystems erweiterten Koeffizientenmatrix ganzzahlig multipliziert und addiert. Wir rechnen hier einfach mal die "naive" Pivotwahl zu Demonstrationszwecken. In diesem Schema werden auch spaltenweise die jeweiligen Zeilenoperationen mitgeführt.
$$ \begin{array}{rrrrrr } x & y & z & r. S. |& |& \\ \mathbf{ 3 } & 3 & 11 & -2 |& *(-2) + \downarrow |& *(-5) + \downarrow \\ 2 & 4 & 4 & 4 |& *3 + |& --- \\ 5 & 2 & 3 & 9 |& --- |& *3 + \\ .....& ....&.... &.... & ....&.... \\ 3 & 3 & 11 & -2 |& --- |& --- \\ 0 & \mathbf{6} & -10 & 16 |& --- |& *(3/2 ) + \downarrow \\ 0 & -9 & -46 & 37 |& --- |& *1 + \\ ..... & ....&.... &.... & ....&.... \\ 3 & 3 & 11 & -2 |& --- |& --- \\ 0 & \mathbf{6} & -10 & 16 |& --- |& --- \\ 0 & 0 & -61 & 61 |& --- |& --- \\ \end{array} \qquad $$ Den Multiplikator $3/2$ im 2. Schritt konnten wir uns hier erlauben, ohne die ganzzahlige Rechnung zu opfern, weil die 2. Zeile in der 2. Matrix durch 2 teilbar war. Man sieht aber hier gut, wie schnell die Zahlen mit fortschreitender Rechnung anwachsen können zu großen Primzahlkoeffizienten. Und dies war ein Beispiel mit nur 3 Variablen und 2 Gauß-schritten.
Rückwärtsauflösen:
$ -61z=61, \ z=-1$, $ 6y = 16 +10z = 6, y=1, \ 3x = -2-11z -3y = 6, x=2 $ Lösung $(2;1;-1) .$

Alternative Notierung des Schemas, mit dem Vorteil bei größeren Gleichungssystemen weniger Spalten zu benötigen.
(Römische Zahlen bezeichnen die Zeilen). $$ \begin{array}{rrrrr} x & y & z & r. S. |& Ops \\ \mathbf{ 3 } & 3 & 11 & -2 |& \\ 2 & 4 & 4 & 4 |& II' = -2I + 3II (oder: -2I + 3II \to II) \\ 5 & 2 & 3 & 9 |& III'= (-5)*I + 3*III \\ ......& ....&.... &.... & .... \\ 3 & 3 & 11 & -2 |& \\ 0 & \mathbf{6} & -10 & 16 |& \\ 0 & -9 & -46 & 37 |& III' = (3/2)* II + III \\ ..... & ....&.... &.... & .... \\ 3 & 3 & 11 & -2 |& --- \\ 0 & \mathbf{6} & -10 & 16 |& --- \\ 0 & 0 & -61 & 61 |& --- \\ \end{array} \qquad $$ Aufgabe 1 Für welche Parameter $s$ ist das Gleichungssystem jeweils lösbar und für welche ist es eindeutig lösbar? Berechne jeweils auch die Lösung in Abhängigkeit von $s$. $$ (a) \quad \left( \begin{array}{r} 2x - 5 y = s \\ 4x - 10y = 1 \end{array} \right), \qquad (b) \left( \begin{array}{r} 3x + y = s \\ 9x + 3 y = 1 \end{array} \right), \qquad (c) \left( \begin{array}{r} 3x + y = s \\ 9x - 3 y = 1 \end{array} \right), $$

Matrizenrechnung
Aufgabe 1a Matrixmultiplikation-Knobelaufgabe. Gegeben ist eine Matrix $A$, und ein Matrizenprodukt. $$ C = XA , \quad A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \\ 5 &11 &22 \end{array} \right), $$ Bestimme die Einträge in der Matrix $X$ so, dass folgende Vorgaben erfüllt sind.
Die erste Zeile von $C$ soll dreimal die zweite Zeile plus viermal die dritte Zeile $A$ sein.
Die zweite Zeile von $C$ soll gerade die dritte Zeile von $A$ minus die erste Zeile von $A$ sein.
Die dritte Zeile von $C$ soll gerade die zweite Zeile von $A$ sein.

Aufgabe 1b Matrixmultiplikation-Knobelaufgabe. Gegeben ist eine Matrix $A$, und ein Matrizenprodukt. $X$ ist dabei eine unbekannte 3x3 Matrix. $$ C = AX , \quad A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 4 & 1 \\ 7 & 2 & 1 \\ 5 &11 &22 \end{array} \right), $$ Bestimme die Einträge in der Matrix $X$ so, dass folgende Vorgaben erfüllt sind.
Die erste Spalte von $C$ soll dreimal die zweite Spalte plus viermal die dritte Spalte $A$ sein.
Die zweite Spalte von $C$ soll gerade die dritte Spalte von $A$ minus die erste Spalte von $A$ sein.
Die dritte Spalte von $C$ soll gerade die zweite Spalte von $A$ sein.

Aufgabe 1c Begründen Sie mit dem Produktsatz $ det(AB)= det(A)det(B) $ , warum sich die Determinante einer Matrix nicht ändert, wenn man das Vielfache einer Zeile (bzw Spalte) auf eine andere Zeile (bzw Spalte ) addiert. Untersuchen Sie so auch, wie die Multiplikation einer Zeile (Spalte) mit einem Skalar die Determinante Matrix ändert.

Aufgabe 2 Wenn $A$ eine 3x3 Matrix mit Rang 3 ist und $B$ eine 1x3 Matrix und $C$ eine 3x1 Matrix, welchen Rang und welche Dimension haben dann $$ BA, \quad AC, \quad BAC, \quad CBA? $$

Aufgabe 3 Berechnen Sie eine Inverse der folgenden Matrix (z.B. mit der Cramer'schen Regel) $$ \left( \begin{array}{rr} \sin(2t) & \cos(2t) \\ 2 \cos(2t) & -2\sin(2t) \end{array} \right), $$ (derartige Matrizen treten bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen auf, 2. Semester).

Eigenwerte, Eigenvektoren

Diverses