Parametrisierung in der Ebene

Allgemeine Parameterdarstellung einer Kurve $$ (y(t), x(t)) ,\ t \in [a,b] $$ Illustration: Kurven aus Kreisdeformationen (Erläuterung siehe unten)

Kreis mit Radius r und Mittelpunkt $ P_m = (x_m, y_m) $
Das ist die Menge aller Punkte (x,y) im zweidimensionalen Anschauungsraum \( I\!\!R^2 \) die vom Mittelpunkt den Abstand kleiner oder gleich r hat. Mathematisch formuliert $$ K(P_m, r) = \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | (x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 \le r^2 \} $$ Den Abstand zweier Punkte berechnen wir dabei mit dem Satz des Pythagoras. Man nennt dies auch den euklidischen Abstand - auch die euklidische Norm. Man schreibt für dieses Abstandsmaß in Analogie zum Betrag reeller Zahlen $$ \| (x,y) \|_2 = \sqrt{x^2 + y^2 } $$ Der Index 2 bezieht sich auf den Exponenten, siehe unten. Auf der x-Achse (y=0) ergibt sich gerade der Betrag: \( \| (x,0) \|_2 = \sqrt{x^2 } =|x| \)
Auf der Kreislinie liegen alle Punkte, für die der Abstand genau gleich r ist. $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | (x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2 \} $$

Vollkreis mit Mittelpunkt im Nullpunkt (0,0) und Radius r. Kartesische Beschreibung: $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | \| (x,y) \|_2 = \sqrt{ x^2 + y^2 } \le r \} $$ Projektion y $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | -\sqrt{ r^2 - x^2 } \le y \le \sqrt{ r^2 - x^2 } ; -r \le x \le r \} $$ In Polarkoordinaten $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | x = \rho \cos(t), y = \rho \sin(t), \ t \in [0;2\pi], \rho \in [0;r] \} $$ Transformation beim Intergrieren: $ d(x,y) = \rho d(r,t) $
Kreislinie (Kurve) mit Mittelpunkt im Nullpunkt (0,0) und Radius r. Kartesische Beschreibung: $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | \| (x,y) \|_2 = \sqrt{ x^2 + y^2 } = r \} $$ Parametrisierung als Funktionen y(x): $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | y_{1,2} = \pm \sqrt{ r^2 - x^2 } , \ -r \le x \le r \} $$ In Polarkoordinaten $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | x = r \cos(t), y = r \sin(t), \ t \in [0;2\pi], \} $$

Aus dem Kreis erhält man eine allgemeinere Klasse von Kurven, wenn man den Radius auch als Funktion von $t$ wählt. $$ x(t) = r_1(t)\cos(t), \ y(t) = r_2(t)\sin(t), \quad t\in [a,b] $$ Bei periodischen Funktionen $r(t)$ entsteht dann z. B.
Beispiel : Kurven aus Kreisdeformationen

Spiralen erhält man bei Wahl monoton wachsender oder fallender Funktionen $r(t)$.
Eine lineare Funktion $r_1(t)= r_2(t) = r(t) = a+bt $ erzeugt zum Beispiel eine Spirale mit festen Windungsabständen.
$ r(t) = a\exp(bt) , t \in [a,b] $ erzeugt die sogenannte Logarithmische Spirale . Die Wahl $ r(t) = a(1+cos(t))$ erzeugt die sogenannte Kardioide (auch Herzkurve, obwohl es für "Herzen " bessere Parameterdarstellungen gibt) - Abrollkurve eines Kreises auf einem radiusgleichen Kreis
Kardioide

Wählt man konstante Funktionen $r_1 , r_2 $ so erhält man Ellipsen mit festen Achsenabschnitten auf der x, bzw. y-Achse.

Ellipse mit Mittelpunkt im Nullpunkt (0,0) und Achsenabschnitten a,b


Streckung des Kreises in Richtung der Koordinatenachsen. Achsenabschnitte a,b. Kartesische Beschreibung der Fläche $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | \| (x,y) \|_2 = \sqrt{ (x/a)^2 + (y/b)^2 } \le 1 \} $$ Projektion $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | -b \sqrt{ r^2 - (x/a)^2 } \le y \le b\sqrt{ r^2 - (x/b)^2 } ; -1 \le x \le 1 \} $$ Parametrisierung der Ellipse (Kurve) in Polarkoordinaten. $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | x = a\cos(t), y = b \sin(t), \ t \in [0;2\pi], \} $$ Verschiebung auf einen Mittelpunkt $(x_m, y_m) $ wieder durch Addition des Punktes in der Parameterdarstellung $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | x = x_m a\cos(t),\ y_m = b \sin(t), \ t \in [0;2\pi], \} $$