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Vektorrechnung im $I\!\! R^3 $

Darstellungsformen Ebene im $I\!\! R^3 $

Bezeichnungen: $$ \vec{x} = \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) \qquad \vec{n} = \left( \begin{array}{r} n_1 \\ n_2 \\ n_ 3 \end{array} \right), $$ $$ \mbox{ Skalarprodukt } \vec{n} \bullet \vec{x} = n_1 x + n_2 y + n_3 z $$ 1. Normalform /Skalarform/implizite Form
$\vec{n} $ ist hier irgendein Normalenvektor (steht senkrecht auf der Ebene). $$ \vec{n} \bullet \vec{x} = n_1 x + n_2 y + n_3 z = r $$ 2. Speziell: Hessesche Normalform
$\vec{n} $ ist hier Normaleneinheitsvektor mit Länge 1, $ d$ ist dann sofort auch der Abstand der Ebene zum Nullpunkt. $$ \|\vec{n} \| =1 \quad \mbox{ und } \vec{n} \bullet \vec{x} = n_1 x + n_2 y + n_3 z = d $$ 3. Achsenabschnittsform $a,b,c : $ Achsenabschnitte, also Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. $y=0,z =0, x=a $ usw. $$ { x \over a } + { y \over b } + { z \over c } = 1 $$ 4. Ebene ist durch einen Aufpunkt $\vec{a} $ und Richtungsvektoren $ \vec{u}, \vec{v} $ gegeben (Punkt-Richtungsform, parametrische Form) $$ E: \vec{x}(t,s) = \vec{a} + s \vec{u} + t \vec{v}, \quad t, s \in I\!\!R $$ Umwandlung in die anderen Darstellungen siehe Beispiel 1 unten.

5. Die Ebene ist durch drei Punkte auf der Ebene mit den drei Ortsvektoren $\vec{p}_{1}, \vec{p}_{2}, \vec{p}_{3}, $ gegeben. Nehme einen davon als Aufpunkt, z.B. $\vec{a} = \vec{p}_1 $ setze als Richtungsvektoren $$ \vec{u} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 \quad \vec{v} = \vec{p}_3 - \vec{p}_1 $$ Dann hat man die Darstellung Typ 4.






Beispiel 1:
Ebene in Normalform /Skalarform/impliziter Form gegeben
$$ 1x + 2 y + 3 z = 5 $$ Dieselbe Ebene in Hessescher Normalform : Normiere den Normalenvektor auf Länge 1.
Länge von $\vec{n}$ : $$ \|\vec{n} \| = \sqrt{ 1^2 + 2^2 + 3^2 } = \sqrt{14} $$ $$ { 1 \over \sqrt{14} } (1x + 2 y + 3 z) = {5 \over \sqrt{14} } =d \quad (= \mbox{ Abstand Ebene-Nullpunkt } ) $$ Division der Normalform durch rechte Seite (hier 5) ergibt Darstellung in Achsenabschnittsform , Achsenabschnitte $a,b,c $ : $$ 1 = { 1\over 5 } ( 1x + 2 y + 3 z ) = { x \over 5 } + { y \over 5/2 } + { z\over 5/3 } \Rightarrow a = 5, \ b= { 5 \over 2 } , c= {5\over 3} $$ Wir wandeln die Normalform in eine Aufpunkt-Richtungsform um. Z.B. so:
$$ 1x + 2 y + 3 z = 5 \Leftrightarrow z = 5/3 - (1/3)x - (2/3) y , \quad \mbox{ setze } x=s, \ y= t $$ Das dann alles komponentenweise eintragen/abgleichen: $$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) (s,t) = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 5/3 \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1/3 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -2/3 \end{array} \right) = \vec{a} + s \vec{u} + t \vec{v}$$ Geschickter wäre es hier gewesen, nach $x$ aufzulösen (andere Darstellung derselben Ebene, anderer Aufpunkt, andere Richtungsvektoren ), man hätte so einige Brüche vermieden. $$ 1x + 2 y + 3 z = 5 \Leftrightarrow x = 5 - 2y - 3z , \quad \mbox{ setze } y=s, \ z= t, \Rightarrow x = 5 - 2s - 3t $$ $$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) (s,t) = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + t \left( \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) $$ Es gibt natürlich noch unendlich viele weitere Möglichkeiten, diese Ebene darzustellen. Möchte man erreichen, dass die Richtungsvektoren senkrecht stehen, kann man diese Orthogonalzerlegung benutzen.
Wie kommt man von einer Punkt-Richtungsform zu einer Darstellung in Normalenform?
1. Schritt: Bilde einen Normalenvektor aus Vektorprodukt der Richtungsvektoren. $$ \vec{n} = \vec{u}\times \vec{v}, $$ 2. Schritt: Multipliziere (=Skalarprodukt bilden!) dann die Punkt-Richtungsgleichung mit diesem Normalenvektor und nutze aus, dass der Normalenvektor auf den Richtungsvektoren senkrecht steht. $$ \vec{n} \bullet \vec{v} = \vec{n} \bullet \vec{u} = 0 \Longrightarrow \vec{n} \bullet \vec{x} = \vec{n} \bullet ( \vec{a} + s \vec{u} + t \vec{v}) = \vec{n} \bullet \vec{a} $$ Also $$ n_1 x + x_2 y + n_3 z = \vec{n} \bullet \vec{a} $$ An der zweiten Punkt-Richtungsdastellung der Ebene durchgeführt: $$ \vec{n} = \vec{u}\times \vec{v} = \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) $$ $$ \vec{n} \bullet \vec{x} = 1x + 2 y + 3 z = 5 = \vec{n} \bullet \vec{a} $$ Hessesche Normalform wie oben durch Nomierung auf $1$, Achsenabschnittsform durch Division durch $5$, siehe oben.

Abstände - Formeln

Abstand Punkt-Ebene

$\vec{w}$ sei der Richtungsvektor eines Punktes. Die Ebene $E$ sei in Punkt-Richtungsform $E: \vec{a} + s \vec{u} + t \vec{v} $, mit Normalenvektor $\vec{n}$gegeben. $$ Distanz(\vec{w}, E) = { | \vec{n} \bullet ( \vec{w} - \vec{a} ) | \over \| \vec{n} \| } $$ Ist $ \vec{n} $ der Nomaleneinheitsvektor (Länge 1, Hessesche Normalform) so kann man die Distanz etwas einfacher hinschreiben: $$ Distanz(\vec{w}, E) = | \vec{n} \bullet \vec{w} - \vec{n} \bullet \vec{a} ) |, \quad d = \vec{n} \bullet \vec{a} $$ Hat man also schon die Hessesche Normalform vorliegen, kann man deren rechte Seite $d$ nehmen, anstatt $ \vec{n} \bullet \vec{a} $ extra auszurechnen. Man erhält hier aber nur den Abstand Punkt-Ebene, nicht die Projektion und diese Methode funktioniert auch nur im $I\!\!R^3$. Eine allgemeine Methode finden Sie hier. Projektion Vektor auf affinen Teilraum /Hyperebene

Schnittmenge Ebene-Ebene

Schnittmengenberechnung Ebene-Ebene ist hier ausführlich erläutert


Darstellungsformen einer Geraden im $I\!\! R^3 $

Darstellung in Punkt-Richtungsform oder durch 2 Punkte

Die Gerade ist durch einen Aufpunkt $\vec{a} $ und einen Richtungsvektoren $ \vec{u}, $ gegeben (Punkt-Richtungsform, parametrische Form) $$ E: \vec{x}(s) = \vec{a} + s \vec{u} , \quad s \in I\!\!R $$ Umwandlung in die anderen Darstellungen siehe Beispiel 2 unten.

Die Gerade ist durch zwei Punkte mit den drei Ortsvektoren $\vec{p}_{1}, \vec{p}_{2}, $ gegeben. Nehme einen davon als Aufpunkt, z.B. $\vec{a} = \vec{p}_1 $ setze als Richtungsvektor $$ \vec{u} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 $$ Dann hat man die Darstellung mit Aufpunkt und Richtungsvektor

Gerade als Schnitt von 2 Ebenen



$$ E_1:\ n_1x+n_2 y + n_3z = r_1 \qquad E_2: \ m_1x+m_2 y + m_3z = r_2 $$ Die Ebenen dürfen nicht parallel sein! Die Lösung der beiden Gleichungen enthält dann genau einen frei wählbaren Parameter.
Genaueres siehe hier: Schnittmengenberechnung Ebene-Ebene ist hier ausführlich erläutert

Beispiel 2
Parallele Ebenen: $ E_1: 1x +2y + 3 z = 5 $, $E_2: \ 1x+2y+3z = 3 $.
Beide Ebenen haben denselben Normalenvektor, aber die Ebenen sind zueinander verschoben, rechte Seite verschieden.

Nichtparallele Ebenen: $ E_1: 1x +2y + 3 z = 5 $, $E_2: \ 1x+2y+2z = 3 $
Subtraktion der Gleichungen ergibt $z = 2,$ einsetzen in erste oder zweite Gleichung dann z.B. $ x+2y = -1 , $ also z.B. $ x= -1 - 2y. $ Nehmen wir nun $y=s$ als frei wählbaren Parameter, also dann $ x= -1 - 2s. $ und tragen alles in die Aufpunkt-Richtungsform ein, so erhalten wir: $$ \left( \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right) (s) = \left( \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + s \left( \begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) $$