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Potenzreihen

Die Potenzreihentwicklung einer Funktion $f$ um einen festen Entwicklungspunkt $x_0$ $$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k $$ ist ein seit langem benutztes Hilfsmittel zur Darstellung (nach der einfachen Basis von Potenzen $(x-x_0)^k$ ), somit auch zur Analyse und Näherung von Funkionen.
Man kann an den zuvor berechneten Koeffizienten $a_k$ zum Beispiel abschätzen, wie schnell eine Funktion wächst, zwei Funktionen anhand ihrer Potenzreihenentwicklung (=gemeinsame Basis!) vergleichen. Man kann auch eine Funktion durch ein Polynom annähern, indem man die Potenzreihenentwicklung nur für endlich viele Koeffizienten durchführt.
Die Potenzreihenentwicklung ist eindeutig, d.h. gleichgültig mit welcher Methode man die Koeffizienten $a_k$ ermittelt, es müssen dieselben sein. (Koeffizientenvergleich, lineare Unabhängigkeit der Basisfunktionen $(x-x_0)^k, k=0, 1, ..... $ )
Beispiele zur Anwendung von Potenzreihenentwicklungen: Lokale Approximation einer Funktion durch Taylorreihe, Grenzwerte von Quotienten
In diesem Abschnitt werden verschiedene Methoden erläutert, eine Funktion in eine Potenzreihe zu entwickeln.
Zum Konvergenzradius siehe Reihen


Generalvoraussetzung: $f$ ist beliebig oft in einem Intervall differenzierbar.

Potenzreihe über eine Taylorreihe/Taylorformel berechnen

Diese Methode empfiehlt sich nur dann, wenn keine einfachere Möglichkeit zur Berechnung der Koeffizienten $a_k$ zur Verfügung steht. Man muss dazu aber alle Ableitungen der gegebenen Funktion bis zur gewünschten Potenz formelmäßig berechnen(können. Bei verketteten Funktionen wächst dieser Aufwand schnell! $$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0) ( x-x_0) + { 1 \over 2! } f''(x_0) (x-x_0)^2 + ..... = \sum_{k=0}^{\infty} {1 \over k! } f^{(k)}(x_0 ) (x-x_0)^{k } = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k $$ also $$ a_k = {1 \over k! } f^{(k)}(x_0 ) $$ Dabei : $ f^{(0)}(x_0 ) = f(x_0)$, $\quad 0!=1$

Praktisch geht man so vor, dass man sich einige Ableitungen von $f$ hinschreibt und daraus dann eine Darstellung der k-ten Ableitung $ f^{(k)} (x_0) $ (Bildungsgesetz) ermittelt. Gerne -sofern nicht anderweitig vorgegeben - nimmt man dann Entwicklungspunkte, an denen diese Ableitungen einfach hinzuschreiben bzw. auszuwerten sind.
Der Konvergenzradius bestimmt das Intervall, in dem die Reihe die Funktion darstellt. $ x_0-r \lt x \lt x_0 + r .$ Dies kann, aber muss nicht zwangsläufig der Definitionsbereich der Funktion sein!


Beispiele:
  1. $ f(x) = \exp(x),\ x_0=0, \quad $ $ f(x_0) = f'(x_0) = f''(x_0)= .... f^{(k)}(x_0) = \exp(x_0) = 1 $ $$ \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over k! } x^{k } \quad \Rightarrow \quad a_k = { 1 \over k! } $$ Konvergenzradius unendlich, die Reihe stellt auf ganz $ I\!\! R $ die Funktion dar.
  2. $ f(x) = \exp(3x),\ x_0=0, \quad $ $ f'(x_0) = 3f(x_0) , f''(x_0)= 3^2 f(x_0) $ .... $ f^{(k)}(x_0) = 3^k \exp(x_0) = 3^k $ $$ \exp(3x) = \sum_{k=0}^{\infty} { 3^k \over k! } x^{k } \quad \Rightarrow a_k = { 3^k \over k! } $$
  3. $f(x) = \sin(x),\ x_0 =0. $
    $f(0) = \sin(0) = 0,\ f'(0) = \cos(0) =1,\ f''(0) = -\sin(0) = 0,\ f'''(0) = -\cos(0)= -1, \ f^{(4)} (0) = - \sin(0) = 0 .... $
    also $ f^{(2k)}(0) = 0 , \quad f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k $ $$ \sin(x) = \sin(0) + { \cos(0) \over 1! } x + { - \sin(0) \over 2! } x^2 + { - \cos(0) \over 3! } x^3 + ...... $$ $$ = x - { 1 \over 3! } x^3 + { 1 \over 5! } x^5 ..... = \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \over(2k+1)! } x^{2k+1 } $$
  4. Analog zum Sinus geht der Kosinus, alle ungeraden Ableitungen sind Null an $x_0=0$ $$ \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \over (2k) ! } x^{2k } $$
  5. $$ f(x) = x^{-1} = { 1 \over x } ,\ x_0=1, \quad f'(x) = (-1) x^{-2}, \ f''(x) = (-1)(-2) x^{-3},\ f'''(x) = (-1)(-2)(-3) x^{-4}, \ ....$$
    $$ \mbox{Allgemein: } \quad f^{(k)}(x) = (-1)^k k! \; x^{-(k+1) } , \qquad f^{(k)}(1) = (-1)^k k! $$ $$ { 1 \over x } = \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k k! \over k! } (x-1)^k = \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k } (x-1)^k $$
  6. $ f(x) = (1-x)^{-1} , x_0=0 $
    Es handelt sich eigentlich um die Funktion aus dem vorangegangenen Beispiel, um 1 verschoben und mit (-1) multipliziert. Durch Ausführung dieser Operationen könnten wir die Potenzreihe auch aus der vorigen ermitteln. Diese Methode wird im nächsten Abschnitt erläutert. Wir rechnen zu Vergleichszwecken hier noch einmal die Potenzreihe über die Taylorformel aus.
    $$ f'(x) = (-1)^2 (1-x)^{-2 } , \ f''(x) = (-1)(-2) (1-x)^{-3} ...... \quad f^{(k)}(x) = k! (1-x)^{-(k+1) } , \ f^{(k)}(0)= k! $$ $$ f(x) = { 1 \over 1-x } = \sum_{k=0}^{\infty} { k! \over k! } x ^k \ = \ \sum_{k=0}^{\infty} x ^k $$ Es ist genau die geometrische Reihe, die man ja auch durch elementare algebraische Operationen berechnen kann! Siehe : Reihen
    Natürlich muss die Taylorformel zu denselben Koeffizienten führen (Eindeutigkeit der Entwicklung).
  7. Auch die Funktion $ f(x) = (1-2x)^{-1} , x_0=0 $ kann man etwas umständlich (Kettenregel) über die Taylorformel in eine Potenzreihe entwickeln. Der einfachere Weg über die schon bekannte geometrische Reihe wird im nächsten Abschnitt erklärt. $$ f'(x) = (-1) (-2) (1-2x)^{-2} \quad f'' (x) = (-1)(-2) (-2)(-2) (1-2x)^{-3}, \quad f''' (x) = (-1)(-2)(-3) (-2)(-2)(-2) (1-2x)^{-3} ... $$ $$ f^{(k)}(x) = k! 2^k (1-2x)^{-(k+1) } , \qquad f(x) = { 1 \over 1-2x } = \sum_{k=0}^{\infty} 2^k x ^k $$ Konvergenzradius $ r=1/2 .$
Bemerkung Die Reihenentwicklung von $\sin(x)$ ist der Anteil mit ungeraden Potenzen der $\exp() $ Reihe, die Reihe für den Kosinus der gerade Anteil. Dies ist nicht verwunderlich, wenn man sich klar macht, dass die Reihenentwicklung auch im Komplexen gilt und die Eulersche Formel nutzt. $$ \exp(jx) = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over k! } j^k x^{k } = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over (2k)! } x^{2k } + j \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over (2k+1)! } x^{2k+1 } = \cos(x) + j \sin(x), $$ Wenn man es nicht sieht, einfach die Reihen gliedweise hinschreiben und auseinanderziehen nach geraden und ungeraden Exponenten.

Potenzreihendarstellungen aus bekannten Potenzreihen berechnen

Wie schon häufiger ausgeführt, nutzt man beim Rechnen gerne ein Baukastenprinzip um Arbeit zu sparen, führt also neue Aufgaben gerne auf schon gelöste zurück.
Potenzreihen darf man (innerhalb des Konvergenzintervalls) gliedweise differenzieren und Integrieren, erhält also aus der Reihenentwicklung einer Funktion sehr einfach die Reihenentwicklung der Ableitungen und Stammfunktion. Addition von Potenzreihen (siehe oben, exp und sin) , Substitution, Verschiebung, Multiplikation mit $x$-Potenzen, - alle diese Operationen erzeugen aus bekannten Potenzreihen neue. Man muss also nicht immer auf die Taylorformel zurückgreifen - das ist nur das letzte Mittel, wenn man nicht mehr anders weiterkommt.

Beispiele:
  1. Wir greifen gleich das letzte Beispiel des vorangegangenen Abschnitts auf. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $ f(x) = (1-2x)^{-1} ,$ am Enwicklungspunkt $ x_0=0 $
    Durch eine Substitution erhalten wir diese Reihentwicklung sofort aus der geometrischen Reihe: $$ (1-z )^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k , \quad z=2x \quad \Rightarrow f(x) = (1-2x)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (2x)^k = \sum_{k=0}^{\infty} 2^k x^k $$ somit $a_k = 2^k . $ Diese Rechnung ist etwas einfacher, als über die Taylorformel (vgl. voriger Abschnitt ). Der Konvergenzradius ist hier sofort ablesbar $ r= 1/2 (=2^k / 2^{k+1 } ) .$ Die Reihe stellt die Funktion also nur im Intervall $ -0,5 \lt x \lt 0,5 $ dar, obwohl der Definitionsbereich der Funktion größer ist ($ x \ne 0,5$) - die liegt an der Polstelle der Funktion bei $x=0,5$, die bei der Reihenentwicklung nicht "überschritten" werden darf.
  2. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $ f(x) = (1-x^2)^{-1} ,$ am Enwicklungspunkt $ x_0=0 $
    Wieder mit Substitution: $$ (1-z )^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} z^k , \quad z=x^2 \quad \Rightarrow \quad f(x) = (1-x^2)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n } $$ $a_n = 1 $ wenn $n$ gerade und $a_n=0$ wenn $n$ ungerade.
  3. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $ f(x) = (2-x)^{-1} ,$ am Entwicklungspunkt $ x_0=1 $
    Umschreiben und in die geometrische Reihe einsetzen: $$ f(x) = (2-x)^{-1} = ( 1 -(x-1))^{-1},\ z = (x-1) \quad f(x) =\sum_{k=0}^{\infty} (x-1)^k $$
  4. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $ f(x) = \exp(x^p) ,$ $p$ natürliche Zahl, am Entwicklungspunkt $x_0=0$. Wir kennen die Potenzreihenentwicklung von $\exp(x) $ , berechnet mit der Taylorformel , sie oben, müssen also nur substituieren: $$ \exp(z) = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over k! } z^{k }, \quad z=x^p\ \Rightarrow\ \exp(z) = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over k! } x^{kp }, $$ Konvergenzradius wieder unendlich, Reihe stellt für jede reelle Zahl die Funktion dar.
  5. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $ f(x) = x^2 \sin(x) ,$ am Entwicklungspunkt $ x_0=0 $
    Die Taylorformel wäre hier sehr umständlich (Produktregel!) - es geht viel einfacher: Wir multiplizieren die oben schon berechnete Reihendarstellung von $\sin(x) $ einfach mit $x^2 $ und ermitteln so die gesuchte Potenzreihendarstellung: $$ f(x) = x^2 \sin(x) = x^2 \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over (2k+1)! } (-1)^k x^{2k+1 } = \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over (2k+1)! } (-1)^k x^{2k+3 } $$ Dies funktioniert natürlich nur so einfach weil wir den Entwicklungspunkt $x=0$ und den Multiplikator $x^2$ hatten.
    Leichte Variation des Beispiels:
    $ f(x) = (x-2)^2 \sin(x) , x_0 =0$. Hier rechnen wir zunächst $(x-1)^2 $ in x-Potenzen um, entwickeln also den Term um $x_0=0$ und multiplizieren dann, $$ f(x) = (x-2)^2 \sin(x) = (x^2 + 4 x + 4) \sin(x) = (x^2 + 4 x + 4) \sum_{k=0}^{\infty} { 1 \over (2k+1)! }(-1)^k x^{2k+1 } $$ Nun muss man die $x$-Potenzen mit den Summen multiplizieren und die Potenzreihen addieren, d.h. die Koeffizienten zu jeweils gleichen Exponenten addieren. $$ f(x) = 4x - 4x^2 + { x^3 \over 3 } + { 2x^4 \over 3 } - {2 x^5 \over 15 } .... $$
  6. Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $ f(x) = \ln(x) ,$ am Entwicklungspunkt $ x_0=1 $
    Bevor wir einen Ableitungsmarathon starten, erinnern wir uns daran, dass wir die Potenzreihendarstellung der Ableitung $ 1/x $ des $\ln$ aus dem vorigen Abschnitt schon kennen. Diese müssen wir nur noch gliedweise aufintegrieren. Dahinter steht natürlich ein Satz, dass unter bestimmten Voraussetzungen Summation und Integration vertauschbar sind. $$ \ln(x) = \int_1^x { 1 \over u } du = \int_1^x \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k } (u-1)^k du = \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k } \int_1^x (u-1)^k du = \sum_{k=0}^{\infty} {(-1)^k \over k+1 } (x-1)^{k+1} $$ Wenn man den Konvergenzradius ermittelt ($r=1$) stellt man fest, dass die Darstellung der Funktion durch die Potenzreihe nur im Intervall $ ]0; 2 ] $ gilt. Für $x=2$ konvergiert die Reihe auch (Leibnitz-Kriterium).
  7. Analog kann man aus der Potenzreihenentwicklung von $1/x $ am Punkt $x_0=1$ auch die Reihenentwicklungen für $ 1/x^2, 1 /x^3 $ etc. durch gliedweises Differenzieren der Reihe für $1/x $ ermitteln. (Übung).

Aufgaben:

Bezeichnung: Eine Potenzreihe der Form $$ \sum_k a_k x^k $$ (Entwicklungspunkt also $x_0 = 0 $) heißt auch (Euler)-Mc Laurin'sche Reihe.

Tipp: Kontrolle Ihrer Ergebnisse mit Wolfram Alpha: Ersetzen Sie in diesem Beispiel einfach Funktion und Entwicklungspunkt.
1. Potenzreihenentwicklung der Funktion $f(x) = (x-2)^4 $ um den Punkt $x_0=1$?

2. Entwickeln Sie die Funktion $f(x) = \sqrt{x} , x\ge 0 $ am Entwicklungspunkt $x_0=1$ in eine Potenzreihe und bestimmen Sie den Konvergenzradius.


3. Entwickeln Sie die Funktion $f(x) = sin(x^3) $ am Entwicklungspunkt $x_0=0$ in eine Potenzreihe und bestimmen Sie den Konvergenzradius.
Tipp: Die bekannte Reihe für den Sinus nehmen und geeignet substituieren.


Die Bestimmung der Koeffizienten über die Taylorformel ist hier prinzipiell auch möglich, aber erheblich umständlicher.