Kreise, Ellipsen, Kugeln, Ellipsoide, runde Ecken

Auf der Mathematik-Startseite befindet sich ein Bild, auf dem eine Kugel über verschiedene Stationen in einen Zylinder transformiert wird.


Wie kann man diese Deformation erklären? Wir besprechen den Vorgang und stellen dabei in der Ingenieurmathematik häufig benötigte Flächen und Körper und ihre mathematische Beschreibung vor.
Was ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt \( P_m = (x_m, y_m) \) ?
Das ist die Menge aller Punkte (x,y) im zweidimensionalen Anschauungsraum \( I\!\!R^2 \) die vom Mittelpunkt den Abstand kleiner oder gleich r hat. Mathematisch formuliert $$ K(P_m, r) = \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | (x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 \le r^2 \} $$ Den Abstand zweier Punkte berechnen wir dabei mit dem Satz des Pythagoras. Man nennt dies auch den euklidischen Abstand - auch die euklidische Norm. Man schreibt für dieses Abstandsmaß in Analogie zum Betrag reeller Zahlen $$ \| (x,y) \|_2 = \sqrt{x^2 + y^2 } $$ Der Index 2 bezieht sich auf den Exponenten, siehe unten. Auf der x-Achse (y=0) ergibt sich gerade der Betrag: \( \| (x,0) \|_2 = \sqrt{x^2 } =|x| \)
Auf der Kreislinie liegen alle Punkte, für die der Abstand genau gleich r ist. $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | (x-x_m)^2 + (y-y_m)^2 = r^2 \} $$
Wir betrachten aus Gründen der einfachen Darstellung nun nur noch Kreise mit Mittelpunkt im Nullpunkt (0,0). Die Kreislinie ist dann beschrieben durch: $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | \| (x,y) \|_2 = \sqrt{ x^2 + y^2 } = r \} $$ Diese Kreislinie kann nicht als Graph einer einzigen Funktion dargestellt werden kann, sondern es kann nur jeweils ein Halbkreis durch eine Funktion repäsentiert werden. $$ y_{1,2} = \pm \sqrt{ r^2 - x^2 }, \ |x| \le I\!\!R $$ Bemerkung: Man kann die Kreislinie aber auch durch eine andere Parametrisierung beschreiben, die sog. Polarkoordinaten. (vg. Schule/trigonometr. Funktionen) $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | x = \cos(t), y = sin(t), t \in [0;2\pi] \} $$ Eine Ellipse (mit Mittelpunkt Null) erhält man, wenn man den Kreis in Richtung der Koordinatenachsen linear streckt bzw. staucht mit Faktoren a,b den sogenannten Achsenabschnitten. Hier wieder nur die Begrenzungslinie dargestellt: $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 | ({x \over a} ) ^2 + ({y\over b}) ^2 = 1 \} $$
Man macht sich die Beschreibung der Ellipse sofort klar, in dem man sich überlegt, was an den Stellen y=0 (x-Achse) und x=0 (y-Achse) gelten muss, damit die Bestimmungsgleichung erfüllt ist.
Wenn y=0, dann muss \( (x/a)^2 = 1 \) also x=a oder x=-a erfüllt sein.
Wenn x=0, dann muss \( (y/b)^2 = 1 \) also y=b oder y=-b erfüllt sein.
Die Streckung um konstante Faktoren a,b ist offenbar eine lineare Transformation des Kreises in eine Ellipse. Man kann jedoch auch nichtlineare Transfomationen vornehmen, in dem man andere Exponenten als 2, und damit ein anderes Abstandsmaß, eine andere Norm wählt. Für eine Zahl \( p\ge 1 \) definieren wir das folgende Abstandsmaß bzw Längenmaß, die sog. p-Norm. $$ \| (x,y) \|_p = (|x|^p + |y|^p )^{1/p} $$ und dessen Niveaulinie $$ \{ (x,y) \in I\!\!R^2 |\ \| (x,y) \|_p = |x|^p + |y|^p )^{1/p} = r \} $$ Wir zeichnen diese Niveaulinien für verschiedene p, also die Menge der Punkte in der Ebene, die zum Nullpunkt gerade den Abstand r bezüglich dieses neuen Abstandsmaßes besitzen.
Gezeichnet wurden hier die Nineaulinien nur in der oberen Halbebene (y>0) für p=1 (schwarz), p=2 (blau), p=4 (rot), p=8(grün). Für die Linien in der unteren Halbebene wäre an der x-Achse zu spiegeln.

Man sieht, dass für wachsende p die Niveaulinien sich immer mehr einem Quadrat annähern, die Ecken werden angenähert. Dies ist auch heuristisch einzusehen, wenn wir uns einmal auf die Punkte auf der Geraden y=x beschränken. Ein x welches die Gleichung \( |x|^2 + |x|^2 =1 \) erfüllt, ist sicher betragsmäßig kleiner und damit näher am Nullpunkt als eines, das die Gleichung \( |x|^4 + |x|^4 =1 \) erfüllt. Für p =1 ergibt sich eine Raute. Das exakte Quadrat ergibt sich schließlich als Niveaulinie der sogenannten Maximum-Norm, die man tatsächlich als Grenzfall für \( p \to +\infty \) ansehen (und auch beweisen ) kann. $$ \| (x,y) \|_{\infty} = \max \{|x|, |y| \} $$ Alle Betrachtungen bisher betrafen ein Abstands bzw Längenmaß in der Ebene. Die Euklidische und allgemein jede p-Nom lässt sich zwanglos auf jedem endlichdimensionalen Verktorraum (und damit auch dem dreidimensionalen) sinngemäß wie oben definieren. $$ (x,y,z) \in I\!\!R^3 : \quad \| (x,y,z) \|_p = (|x|^p + |y|^p +|z|^p )^{1/p} $$ Als Niveauflächen $$ \{ (x,y, z ) \in I\!\!R^3 |\ \| (x,y, z) \|_p = r \} $$ erhalten wir für p=2 die wohlbekannte Kugelfläche, für p>2 wird Fläche diese Richtung Würfelecken ausgebeult, analog zum deformierten Kreis oben.
Ellipsoide (für p=2) bzw Hyperellipsoide für p > 2 und Mittelpunkt Null erhalten wir wieder durch Streckungen mit positiven Faktoren a,b,c in Richtung der Koordinatenachsen. $$ \mbox{Hyperellipsoid} \qquad\qquad \{ (x,y, z ) \in I\!\!R^3 |\ \| (x/a,y/b, z/c) \|_p = r \} $$ Wir wollen aber die Kugel zu einem Zylinder , bzw zu einer Näherung des Zylinders deformieren. Schneidet man den Zylinder (Höhe h, Radius des Grundkreises r) in einer Ebene auf der Längsachse , erhält man ein Rechteck, falls Höhe h gleich 2r, sogar ein Quadrat. Somit müsste man zur Näherung hier mit großem p arbeiten. Schneidet man ihn mit einer Ebene senkrecht zur Längsachse, so erhält man einen Kreis mit Radius r. Hier wäre p=2. Man muss also verschiedene p-Normen in verschiedene Koordinatenrichtungen hier kombinieren, um die unterschiedliche Deformation in verschiedene Koordinatenrichtungen zu bewirken. Dazu definieren wir ein Längen (und damit Abstandsmaß), das in der (x,y)-Ebene wie eine p-Norm wirkt, in der z-Richtung dann wie eine q-Norm und betrachten dessen Niveauflächen: $$ \{ (x,y, z ) \in I\!\!R^3 |\ \| (x,y, z) \|_{p,q} = (|x|^p + |y|^p ) ^{q/p} +|z|^q ) ^{1/q} = (\| (x,y) \|_p^q + |z|^q ) ^{1/q} =r \} $$ Wenn wir p=2 wählen (=kreisförmiger Querschnitt in der (x,y)_Ebene ) und q wachsen lassen, dann nähert sich diese Niveaufläche der Oberfläche eines Zylinders mit Mittelachse gleich z-Achse, Grundkreisradis r und Höhe 2r. Diese Niveauflächen mit wachsendem q werden in der Bilderserie gezeigt. Die Kanten im letzten Bild sind noch leicht gerundet , q=16.
Berechnet und dargestellt wurde die Serie mit dem Programm RAYTRACER (ein Veteran, der bereits unter den ersten Windows und Linuxversionen lief - obwohl dabei viele Gleichungen gelöst werden müssen, CSG-Probleme, die beim Schnitt von Körpern auftreten) .
Grundlagen Raytracing